Physikalisch nicht akzeptable Lösungen für die QM-Winkelgleichung

Question

Physikalisch nicht akzeptable Lösungen für die QM-Winkelgleichung

Physik
Wellenfunktion
Hilbert-Raum
Singularitäten
Quantenmechanik
Kugelharmonische

Arete

Ich lese Griffiths Lehrbuch Introduction to Quantum Mechanics, 3. Auflage [1]. Auf S.136 erklärt der Autor:

Aber warte! Gleichung 4.25 (Winkelgleichung für die $\theta$ -Teil) ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: Sie sollte zwei linear unabhängige Lösungen haben, für alle alten Werte von $\ell$ Und $m$ . Wo sind all die anderen Lösungen? (Eine bezieht sich auf die zugehörige Legendre-Funktion.) Antwort: Sie existieren natürlich als mathematische Lösungen der Gleichung, aber sie sind physikalisch nicht akzeptabel, weil sie explodieren $\theta=0$ und/oder $\theta=\pi$ (siehe Aufgabe 4.5).

In Aufgabe 4.5 finde ich die Funktion $A\ln[\tan (\theta/2)]$ erfüllt die $\theta$ Gleichung für $\ell=m=0$ . Und solche Funktion explodiert bei $\theta=0$ Und $\theta=\pi$ .

Aber warum ist eine solche Funktion physikalisch nicht akzeptabel ? Damit die Wellenfunktion physikalisch akzeptabel ist, muss sie grundsätzlich quadratintegrierbar sein. Und $\ln[\tan (\theta/2)]$ geht eigentlich!

\int_{0}^{π} [\ln [bräunen (θ / 2)]]^{2} Sünde θ D θ = \frac{π^{2}}{6}

$\int_{0}^\pi [\ln[\tan (\theta/2)]]^2\sin\theta \text d\theta= \frac{\pi^2}6$

Für den wohlverhaltenden Funktionsfall ist es sinnvoll, die Funktionsbedingung 'endlich' und 'quadratisch integrierbar' äquivalent zu setzen. In diesem Fall allerdings $\ln[\tan (\theta/2)]$ explodiert bei $\theta=0$ Und $\theta=\pi$ , es ist immer noch quadratisch integrierbar gezähmt von $\sin \theta$ Begriff. Es kann also normalisiert werden, um die statistische Interpretation von Born zu erfüllen. Aber der Autor sagt, dass eine solche Funktion physikalisch inakzeptabel ist, also frage ich mich, warum.

Referenz

Griffiths, DJ; Schroeter, DF Einführung in die Quantenmechanik 3. Aufl.; Cambridge University Press, 2018 . ISBN 978-1107189638.

Summen

Die Bedingung für eine quantenmechanische Wellenfunktion ist quadratische Integrierbarkeit. Das ist nicht der Zustand in E&M.

exp ikx

Sollte die Wellenfunktion nicht auch stetig sein, damit sie physikalisch akzeptabel ist?

Antworten (2)

Physikalisch nicht akzeptable Lösungen für die QM-Winkelgleichung

Die Bedingung für eine quantenmechanische Wellenfunktion ist quadratische Integrierbarkeit. Das ist nicht der Zustand in E&M.
Sollte die Wellenfunktion nicht auch stetig sein, damit sie physikalisch akzeptabel ist?

QMechaniker · Answer 1

Wir versuchen im Prinzip, das Winkel- TISE- Problem zu lösen $^1$

{\vec{L}}^{2} Y = ℏ^{2} ℓ (ℓ + 1) Y, L_{z} Y = ℏ M Y,

$\vec{\bf L}^2Y~=~\hbar^2\ell(\ell+1)Y, \qquad {\bf L}_zY~=~\hbar m Y,$ auf der Einheit 2-Sphäre

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . Wir verwenden jedoch ein "tropisches" Koordinatensystem

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ das ist am Nord- und Südpol einzigartig

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ . Daher sollten wir streng genommen auch die TISE in mathematisch wohldefinierten "arktischen/antarktischen" Koordinatennachbarschaften des Nord- bzw. Südpols lösen und sehen, ob wir die lokalen Lösungen zu einer globalen Lösung zusammenkleben können

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ . Nicht überraschend

^{2}

$^2$ , die Koordinatenlösungen "Arktis/Antarktis" haben keine Singularitäten an den Polen. So ist das Verkleben bei den Tropen nicht möglich

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ Koordinatenlösung zeigt Singularitäten an

θ = 0, π

$\theta=0,\pi$ , dh solche Singularitäten sind physikalisch nicht akzeptabel.

--

$^1$ Wir bleiben hier bei der differentiell-geometrischen Formulierung mit Wellenfunktionen. Natürlich gibt es auch eine bekannte algebraische Formulierung mit Leiteroperatoren, auf die wir hier nicht eingehen.

Davon können wir wlog ausgehen $\ell\geq 0$ . Die Eindeutigkeit der Wellenfunktion $Y$ impliziert, dass die Konstante $m\in\mathbb{Z}$ ist eine ganze Zahl. Seine Reichweite $|m|$ ist begrenzt durch $\ell$ aus körperlichen Gründen. Insbesondere folgt das für fest $\ell$ , die Anzahl unabhängiger tropischer Lösungen ist endlich.

$^2$ Immerhin die $Y$ Lösungen beibehalten sollten $SO(3)$ Kovarianz. Daran erinnern, dass die tropischen Lösungen $Y$ keine Singularitäten oder Diskontinuitäten an internen Punkten aufweisen. Tatsächlich sind sie glatte Karten im Innenraum. Dies kann zB durch ein Bootstrap-Argument a la abgeleitet werden, was in meiner Phys.SE-Antwort hier getan wird . Eine Formulierung mit schwachen Lösungen ändert nichts an der Hauptschlussfolgerung.

Eine arktisch/antarktische Lösung sollte dann eine Linearkombination der endlich vielen sein $90^{\circ}$ -tropische Lösungen für das entsprechende Problem mit gedreht ${\bf L}_z$ ersetzt durch, sagen wir, ${\bf L}_x$ . Eine endliche Summe kann keine inneren Singularitäten entwickeln. $\Box$

1. Ist der Begriff „arktische/antarktische Koordinaten“ ein wohldefinierter Fachbegriff, der sich auf ein einzigartiges Koordinatensystem bezieht? Oder bezieht es sich nur auf ein beliebiges Koordinatensystem, dessen Domäne eine Nachbarschaft des Nord-/Südpols umfasst?
Jedenfalls finde ich diese Antwort weniger klar, als ich mir diese Argumentation wünschen würde. 2. Bedeutet „Singularität“ eine Diskontinuität oder umfasst sie jeden Ort, an dem die Lösung ins Unendliche geht? Wenn letzteres, warum genau sind quadratintegrierbare Singularitäten (selbst auf einem glatten Koordinatensystem) ausgeschlossen?
Hallo @Emilio Pisanty: Danke für das Feedback. 1. Letzteres. 2. Ich habe die Antwort aktualisiert.
Lassen Sie mich zusammenfassen. Wir sparen tatsächlich $L^2 \psi =0$ . Wo $L^2$ ist selbstadjungiert, so dass $\psi$ muss zu seinem Selbstadjungiertheitsbereich gehören. $L^2$ ist der Laplace-Operator an $S^2$ und der Bereich der Selbstadjungiertheit ist der zweite Sobolev-Raum. Aufgrund der elliptischen Regelmäßigkeit muss jede Lösung klassisch und glatt sein. Glätte wird auf den glatten Atlas bezogen $S^2$ . Wenn Sie die sphärischen Koordinaten auf lokale glatte Koordinaten um jeden Pol übertragen, sehen Sie, dass unsere Kandidatenlösung nicht glatt ist. Daher kann es nicht zum Selbstadjungiertheitsbereich von gehören $L^2$ .
Ich denke, es ist richtig, aber all das kann nicht verstanden werden, indem einfach erklärt wird, dass die Kandidatenlösung "physikalisch nicht akzeptabel" ist. Wenn $L^2$ durch einen nichtelliptischen Operator ersetzt würden, wäre jede Argumentation falsch. Ich finde den Kommentar zum Buch sehr irreführend...
Ich finde diese Art von Aussage (ich beziehe mich auf das Buch) ziemlich gefährlich und die Frage von OP sehr gesund: Er / sie hat völlig Recht, dieses Problem anzusprechen. Ich glaube, diese Äußerungen erzeugen ein Abdriften in völlig verkehrte Gefühle. Als ich Student war, verbrachte ich Stunden damit, ähnliche Ideen zu analysieren und zu beweisen . Einige Autoren wissen nicht, warum eine Aussage wahr ist, und es wäre für die gesamte Community viel sicherer, falsche Vorstellungen zu vermeiden. Hier geht es um "elliptische Regelmäßigkeit" (danke Qmechanic). Hat das so direkt etwas mit Physik zu tun?
Hallo @Valter Moretti: Danke für das Feedback. Ich habe die Antwort aktualisiert.
Hinweise für später: $\int_{0}^{π} Sünde θ D θ \ln^{2} bräunen \frac{θ}{2} = \int_{R_{+}} \frac{4 T D T}{(1 + T^{2})^{2}} \ln^{2} T = \int_{R_{+}} \frac{D S}{2 (1 + S)^{2}} \ln^{2} S = \int_{R} \frac{z^{2} D z}{8 {cosch}^{2} \frac{z}{2}} = \frac{π^{2}}{6} .$ $\int_0^{\pi}\! \sin\theta \mathrm{d}\theta \ln^2\tan\frac{\theta}{2}~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{4t\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2} \ln^2t~=~\int_{\mathbb{R}_+}\! \frac{\mathrm{d}s}{2(1+s)^2} \ln^2s~=~\int_{\mathbb{R}}\! \frac{z^2\mathrm{d}z}{8\cosh^2\frac{z}{2}}~=~\frac{\pi^2}{6}.$ Tatsächlich endlich.

NDewolf · Answer 2

Wie in den Antworten auf Wie erkennt man, ob eine Wellenfunktion eine physikalisch akzeptable Lösung einer Schrödinger-Gleichung ist, erwähnt? man sollte auch die quadratische Integrierbarkeit von Ableitungen höherer Ordnung fordern. In Ihrem Fall versagt dies bereits für die erste Ableitung.

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