Wie kann man wissen, ob eine Wellenfunktion eine physikalisch akzeptable Lösung einer Schrödinger-Gleichung ist?

Das absolute Minimum, das eine Wellenfunktion erfüllen muss, um physikalisch akzeptabel zu sein, ist, dass sie quadratisch integrierbar ist; das heißt, dass es$L_2$Norm ,

$$\int |\psi(x)|^2\mathrm d x,$$ endlich sein. Dies schließt Funktionen wie aus $\sin(x)$, die eine Amplitude ungleich Null bis ins Unendliche haben und wie funktionieren $1/x$Und $\tan(x)$, die nicht integrierbare Singularitäten haben.

Im strengsten Fall muss man jedoch zusätzliche Bedingungen aufstellen. Die physikalisch präparierbaren Zustände eines Teilchens bezeichnen Funktionen, die zu jeder Ordnung stetig differenzierbar sind und die endlichen Erwartungswert jeder Orts- und Impulsstärke haben. Daher:

• $\psi$muss überall durchgehend sein.
• Alle$\psi$Die Ableitungen von müssen existieren und überall stetig sein.
• Der Erwartungswert$\int\psi^*(x) \:\hat x^n \hat p^m \psi(x)\:\mathrm dx$muss für alle endlich sein$n$Und$m$.

Dies schließt diskontinuierliche Funktionen wie aus$\theta(x)$, Funktionen mit unstetigen Ableitungen und Funktionen wie$(1+x^2)^{-1/2}$, die im Unendlichen zu langsam zerfallen. Zustände, die diese Bedingungen erfüllen, werden „physikalisch“ genannt, weil sie die Zustände sind, die mit endlicher Energie in endlicher Zeit hergestellt werden können. Der Weg, diese Zustände rigoros zu implementieren, ist die Verwendung einer Konstruktion, die als Rigged Hilbert Space bekannt ist (siehe auch das QM-Lehrbuch von Galindo & Pascual).

In der täglichen Praxis gehen die meisten Menschen ein bisschen gemischt vor. Die Anforderung, dass eine Funktion stetig ist, wird nie fallen gelassen, und man fordert, dass sie zumindest fast überall differenzierbar ist. Wenn der Hamilton-Operator jedoch keine nette Positionsfunktion ist, wie z$\delta$-Funktions- oder Square-Well-Potentiale, die Anforderungen werden manchmal nur auf diese gelockert; Dies geschieht im Verständnis, dass ein wirklich diskontinuierliches Potential nicht physikalisch ist und dass alle Probleme in die höheren Ableitungen von gebracht werden$\psi$kann durch Verwendung eines glatteren Hamiltonoperators behoben werden.

Wenn Sie über die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung sprechen, ist dies, wie die Kommentare vermuten lassen, keine triviale Frage. Ich werde die Antwort auf den eindimensionalen Fall beschränken, da mehrfach verbundene Bereiche in höheren Dimensionen einige zusätzliche Probleme bereiten. Nicht alle Funktionen$\psi$das sind Lösungen der Gleichung

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$$ sind gültige. Die erste Bedingung ist die$\psi\in L^2(\Omega)$, Wo $\Omega\subset \Bbb{R}$ist der Definitionsbereich der Funktion, da sie ein Element des Hilbert-Raums sein muss, sonst wäre sie kein Quantenzustand.

Wenn Sie sich den Bereich des Hamilton-Operators ansehen, sind subtilere Bedingungen erforderlich

$$H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}.$$ Im Allgemeinen wird dies von den Bedingungen abhängen, die das Potenzial erfüllt $V(x)$. Normalerweise landet man bei Teilmengen des Sobolev-Raums $\mathcal{H}^2(\Omega)$, was den ursprünglichen Raum auf Funktionen beschränkt, deren ( schwache -) Ableitung zweiter Ordnung in ist $L^2(\Omega)$. Wenn $\Omega$ein Intervall ist (was der übliche Aufbau ist), kann dies auch äquivalent ausgedrückt werden wie die Funktionen, die mitsamt ihrer Ableitung absolut stetig sind und deren zweite Ableitung ebenfalls in ist $L^2(\Omega)$. Auch bei der Domain $\Omega$ist eine echte Teilmenge von $\Bbb{R}$spielen die Randbedingungen, die durch physikalische Argumente festgelegt werden, eine entscheidende Rolle bei der Wahl des richtigen Bereichs $\mathcal{D}(H)$der Selbstadjungiertheit, und müssen daher ebenfalls berücksichtigt werden. Zum Beispiel die Bedingung, dass $\psi(0)=\psi(a)=0$für das unendliche Quadrat gut, schließt einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung aus, die die anderen Bedingungen erfüllen würden.

Betrachten wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung anders

$$H\psi(t)=i\hbar\partial_t\psi(t), \qquad \psi(0)=\psi_0$$ jede Funktion $\psi_0\in L^2(\Omega)$kann eine Anfangsbedingung für das System sein. Aber für $\psi_0 \notin\mathcal{D}(H)$die Flugbahn gegeben durch $\psi(t)=e^{-iHt/\hbar}\psi_0$ist nur eine schwache Lösung in dem Sinne, dass es sich nicht um einen differenzierbaren Pfad handelt und dass die durchschnittliche Energie nicht für alle definiert ist (als unendlich angesehen werden kann). $t$, daher können diese Lösungen als nicht-physikalisch betrachtet werden.