Was brachte Bohr dazu, den Drehimpuls zu quantisieren und nicht irgendeine andere Größe?

Bohr postulierte, dass Elektronen den Kern in diskreten Energieniveaus umkreisen und Elektronen Energie gewinnen und verlieren können, indem sie zwischen Energieniveaus springen und dabei Frequenzstrahlung abgeben$\nu$laut Formel

wo$\nu = \frac{1}{T}$, wo$T$ist die Umlaufzeit, wie in der klassischen Mechanik.

Lassen Sie jetzt während des Übergangs$r$sei der durchschnittliche Radius und$v$sei die mittlere Geschwindigkeit des Teilchens. Durch eine solche Vereinfachung können wir die Umlaufzeit berechnen:

Deswegen,

Außerdem wissen wir, dass die kinetische Energie bei einem bestimmten Energieniveau gegeben ist durch

Wieder nehmen$r$und$v$um der durchschnittliche Radius und die durchschnittliche Geschwindigkeit während des Übergangs zu sein, erhalten wir

Gleichsetzen$(1)$und$(2)$gibt

Deswegen,

Daher unterscheidet sich jedes Energieniveau vom nächsten um einen Drehimpuls von$\hbar$. Es ist daher vernünftig zu postulieren, dass, wenn das niedrigste Energieniveau keinen Drehimpuls hat, jedes Energieniveau von da an einen Drehimpuls von hat$n\hbar$wo$n$ist eine ganze Zahl.

Unten ist die moderne de-Broglie-Methode:

Aus der Definition des Drehimpulses

$L = rp$, wobei L der Drehimpuls, r der Bahnradius und p der Impuls ist.

Wir wissen auch, dass der Impuls mit der Wellenlänge eines Teilchens aus der De-Broglie-Beziehung zusammenhängt:

Die Kombination dieser gibt

Ok, jetzt betrachten wir ein Elektron, das einen Kern umkreist.

Der Umfang der Umlaufbahn ist$2\pi r$, und weil wir wollen, dass das Elektron eine Stehwellenbahn bildet, brauchen wir das$\frac{2\pi r}{\lambda}$eine ganze Zahl sein, damit die Welle nicht mit sich selbst interferiert. Das ist,

wo$n$ist eine ganze Zahl. Jetzt können wir unsere Definition von ersetzen$L$von oben in diese Gleichung, um zu geben:

und Neuordnung gibt,

Daher ermöglicht die Quantisierung des Drehimpulses, dass die Elektronenwelle während der Umlaufbahn nicht mit sich selbst interferiert.

Wie dmckee kommentierte, wird der Drehimpuls in Bohrs revolutionärem Aufsatz von 1913 "On the Constitution of Atoms and Molecules" (Philos. Mag. 26, 1) kaum erwähnt.

Stattdessen stützt Bohr seine Argumentation auf Plancks Hypothese, dass die Strahlung eines harmonischen Quantenoszillators „in deutlich getrennten Emissionen stattfindet, der Menge an Energie, die von einem atomaren Schwinger der Frequenz abgestrahlt wird“.$\nu_o$"in einer einzigen Emission gleich"$nh \nu_o$, mit$n$eine ganze Zahl und$h$Plancksche Konstante. (Ich habe einige von Bohrs Notation geändert, um sie dem modernen Sprachgebrauch anzupassen.)

Nun hat ein harmonischer Oszillator unabhängig von seiner Energie die gleiche Frequenz, aber nicht so ein Wasserstoffatom.

Nach der Berechnung der Beziehung zwischen Frequenz$\nu_c$und Ionisationsenergie$W$für eine klassische geschlossene Umlaufbahn der großen Halbachse$a$, aufladen$e$, und Elektronenmasse$m$:

Bohr bietet zwei Ansätze an:

1. Stellen Sie sich ein Elektron vor, das in Ruhe weit vom Atom entfernt beginnt und in einer stabilen geschlossenen Umlaufbahn endet (an sich schon eine kühne Behauptung, da es klassischerweise keine solchen Umlaufbahnen gibt). Da die Start-"Frequenz" 0 ist, teilt Bohr die Differenz und postuliert, dass dies die Frequenz der abgestrahlten Emission ist$\nu_r$ist die halbe Frequenz der Endbahn$\nu_c$. Einstellung$W=h \nu_c/2$(die abgestrahlte Energie) leitet Bohr explizite Ausdrücke für die Eigenschaften der Umlaufbahn am Ende ab.
2. Als Alternative betrachtet Bohr Übergänge zwischen zwei fast klassischen Umlaufbahnen sehr niedriger Frequenz, bei denen die Start- und Endumlauffrequenzen nahezu identisch sind. Diese Situation ist dem harmonischen Oszillator sehr ähnlich, sodass die Planck-Hypothese direkt angewendet werden kann: Die Strahlungsfrequenz ist gleich der Umlauffrequenz. Die Ergebnisse stimmen mit dem ersten Ansatz überein.

Erst dann stellt Bohr fest: „Während von einer mechanischen Fundierung der in dieser Arbeit gegebenen Berechnungen offensichtlich keine Rede sein kann, ist es jedoch möglich, eine sehr einfache Interpretation des Ergebnisses zu geben“, nämlich die stabilen Kreisbahnen haben sich quantisiert Drehimpuls$L=n \hbar$.

Bis 1918 hat Bohr in "On the Quantum Theory of Line-Spectra" die Technik der adiabatischen Invarianten übernommen , um diese Aktion zu demonstrieren$I$eines Wasserstoffatoms ist genau wie der harmonische Oszillator quantisiert:$I=nh$. Er stellt fest, dass „diese Bedingung äquivalent ist mit der einfachen Bedingung, dass der Drehimpuls des Teilchens um das Zentrum des Feldes gleich einem ganzen Vielfachen von ist$h/(2 \pi)$.

Ich denke "multiplum" = "multiple".

Es dauerte eine Weile, um die fundamentale Natur des quantisierten Drehimpulses zu verstehen.

Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße (in einem geschlossenen System) und dies gilt auch für den Drehimpuls, der vom elektromagnetischen (EM) Feld getragen wird. Diese Erhaltung ist eine Manifestation der Rotationssymmetrie und der azimutale Teil des emittierten EM-Feldes muss einwertig sein. Mit anderen Worten, beim Drehen des EM-Feldes im Azimut ($\phi$) Richtung (senkrecht zur$z$Richtung) eine ganze Zahl$n$von$2\pi$(360 Grad) muss er den gleichen Wert haben wie vor der Drehung. Diese notwendige Eindeutigkeit nach einer Rotation von$2n\pi$nur realisierbar, wenn der Drehimpuls nur ganzzahlige Werte annimmt$n$, dh wenn der Drehimpuls quantisiert ist (auf klassischem Niveau!).

Dies ist eine Antwort darauf, warum klassischerweise eine Konstante n am Drehimpuls beteiligt ist.

Dies zeigt, dass r mit multipliziert werden muss$n^2$und v muss durch n geteilt werden.

Dies impliziert, dass L n als Variable haben kann, wenn wir die Masse kennen. So$L=mr_0v_0n$wo$r_0$und$v_0$ist, wenn n = 1. Aber warum n ganze Zahlen sein müssen, sagt es nicht. Wir haben, dass n = 1 willkürlich sein kann, also kann es auf n = 1 gesetzt werden, wenn wir uns am Bohrradius befinden.