Wie leiten Sie im Bohr-Modell ab, dass der Drehimpuls eines Elektrons in einem stationären Zustand ein quantisierter ganzzahliger Wert von h/2πh/2πh/2\pi ist?

Ich verstehe, dass Bohr postulierte, dass Elektronen nur Umlaufbahnen mit bestimmten Radien einnehmen können und dass sie, um sich von einer Umlaufbahn (oder einem stationären Zustand) zu einer anderen zu bewegen, ein Energiequant von einem Photon absorbieren oder emittieren müssten. Dies würde dazu führen, dass die Energieänderung zwischen stationären Zuständen erfolgt

Δ E = E 2 − E 1 = H F ,
Wo H ist die Plancksche Konstante und F ist die Frequenz.

Und obwohl ich konzeptionell verstehe, wie dies auch implizieren würde, dass der Drehimpuls eines Elektrons ebenfalls quantisiert ist, kann ich nicht ganz ableiten, wie der Drehimpuls ein ganzzahliges Vielfaches von ist H / 2 π .

Ich habe eine Antwort auf einen anderen Phys.SE-Beitrag gelesen:

Es machte für mich Sinn, aber ich hatte nicht die Reputationspunkte, um einen Kommentar abzugeben und eine Folgefrage zu stellen. Deshalb poste ich hier. In der am besten bewerteten Antwort von Kenshin heißt es:

(1) Δ E = H v = H v 2 π R

Außerdem wissen wir, dass die kinetische Energie bei einem bestimmten Energieniveau gegeben ist durch

KE = M v 2 2 = L v 2 R , also deshalb − U = 2 K E = L v R

Wieder nehmen R Und v um der durchschnittliche Radius und die durchschnittliche Geschwindigkeit während des Übergangs zu sein, erhalten wir

(2) Δ E = ( L 2 − L 1 ) v R .

Gleichsetzen ( 1 ) Und ( 2 ) gibt

( L 2 − L 1 ) v R = H v 2 π R .

Meine Frage ist, warum ist potentielle Energie, U , verwendet, um die zu finden Δ E ? Warum nicht kinetische Energie oder warum nicht Gesamtenergie?

Beachten Sie, dass die elektrische Kraft hier anziehend ist und die potenzielle Energie tatsächlich negativ ist. Wenn wir also die Größe der physikalischen Größen verwenden, haben wir tatsächlich Kreisbahnen U = − L v R . Dieses Zeichen ist wegen der Relation letztlich nicht allzu relevant für den Schluss E = U + K = − 2 K + K = − K . Daher erhalten Sie möglicherweise nur eine Vorzeichenverschiebung, reproduzieren aber dennoch das gesuchte Ergebnis.
Und ein Faktor von 2, in Bezug auf diese Antwort. Noch Quantisierung von L folgt.

Antworten (1)

Ich wollte meinen Kommentaren ein mögliches alternatives Verfahren hinzufügen. Technisch gesehen sind dies am Ende alles halbklassische Schätzungen, sodass wir erwarten können, dass je nach Annäherung unerwartete Faktoren auftauchen. In diesem Fall haben wir diesen lästigen Faktor 2, der letztendlich kein Problem darstellt, aber wir könnten eine alternative Annäherung anstreben, die ihn nicht hat.

Wie ich in den Kommentaren erwähnt habe, ist die Energie in Kreisbahnen für die elektrostatische Coulomb-Anziehung ausreichend E = U + K = − 2 K + K = − K . Genauer gesagt nimmt die Energie die Form an

E = M v 2 2 − k R ,
und der Zustand U = − 2 K kann als Einschränkung angesehen werden k = M R v 2 . Wenn wir nun diesen Wert von einsetzen k und folgen Sie der gleichen Argumentation, die in der Frage vorgeschlagen wird, die die Annahme durchschnittlicher Geschwindigkeiten und Positionen zwischen den Zuständen beinhaltet, von denen wir eine Quantisierung erhalten L aber in Form Δ L = 2 ℏ . Ob wir diese Annahmen für gültig halten können, steht zur Debatte, aber ehrlich gesagt werde ich auch selbst irgendwie ähnliche Annahmen treffen, also nimm dein Gift .

Ich schlage die Alternative der Verwendung vor k = M R v 2 A posteriori. Stellen Sie sich einen Sprung vor, der sich als manifestieren wird R → R + ϵ Δ R Und v → v + ϵ Δ v . Dann finden wir bei der ersten Bestellung in ϵ ,

L = M R v → L ' = M R v + ϵ M ( v Δ R + R Δ v ) .

Machen wir dasselbe mit der Energie. Wir haben eine erste Bestellung ϵ ,

E → E ' = M v 2 2 − k R + ϵ ( k R 2 Δ R + M v Δ v ) .
Wenn wir jetzt verwenden k = M R v 2 , wir haben
E → E ' = M v 2 2 − k R + ϵ 1 R ( M v 2 Δ R + M v R Δ v ) = M v 2 2 − k R + ϵ v R M ( v Δ R + R Δ v ) .
Durch Vergleich Δ L = L ' − L Und Δ E = E ' − E wir finden das Gewünschte Δ E = v R Δ L , was unter Verwendung der Bohr-Quantisierungsregel zu führt Δ L = ℏ .

Wie leiten Sie im Bohr-Modell ab, dass der Drehimpuls eines Elektrons in einem stationären Zustand ein quantisierter ganzzahliger Wert von h/2πh/2πh/2\pi ist?
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