Kombinieren von zwei 1D-Hamiltonoperatoren: Wie konstruiert man den neuen Hamiltonoperator richtig?

Question

Kombinieren von zwei 1D-Hamiltonoperatoren: Wie konstruiert man den neuen Hamiltonoperator richtig?

Hans Wurst

Nehmen wir an, ich habe zwei 1D-Hilbert-Räume $\mathcal H_A, \mathcal H_B$ , beispielsweise zwei harmonische 1D-Oszillatoren. Jeder Raum hat eine orthonormale Basis $B_A=\{\phi^A_n \}, \ B_B=\{\phi^B_m \}, \ n,m\geq 0$ wobei jede Funktion eine Eigenfunktion des jeweiligen 1D-Hamilton-Operators ist. Nun möchte ich das kombinierte System ohne Kopplung aufbauen. Mein Verständnis ist, dass wir das Tensorprodukt beider Räume nehmen, um den neuen Raum zu erhalten $\mathcal H_c$ ,

H_{C} = H_{A} \otimes H_{B}

$\mathcal H_C = \mathcal H_A\otimes \mathcal H_B$

Eine Grundlage für unseren neuen Raum ist $B_C = \{\phi_n^A\otimes\phi_m^B \}$ so dass

\begin{aligned} {\hat{H}}_{C} ϕ_{N M}^{C} & = E_{N M} ϕ_{N M}^{C} \\ ({\hat{H}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{H}}_{B}) (ϕ_{N}^{A} \otimes ϕ_{M}^{B}) & = (E_{N}^{A} + E_{M}^{B}) ϕ_{N}^{A} \otimes ϕ_{M}^{B} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat H_C \phi^C_{nm} &= E_{nm}\phi^C_{nm} \\ (\hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B)(\phi_n^A\otimes\phi_m^B) &= (E^A_n+E_m^B)\phi_n^A\otimes\phi_m^B \\ \end{aligned}$

Damit alles so klappt, brauchen wir

{\hat{H}}_{C} = {\hat{H}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{H}}_{B}

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat 1 + \hat 1\otimes \hat H_B$

Aber es ist mir a priori nicht klar, dass es so sein sollte. Warum ist der Operator nicht durch gegeben

{\hat{H}}_{C} = {\hat{H}}_{A} \otimes {\hat{H}}_{B} ?

$\hat H_C = \hat H_A\otimes \hat H_B \quad ?$ Wann sind Operatoren im neuen Bereich des Formulars

{\hat{Ö}}_{A} \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes {\hat{Ö}}_{B}

$\hat O_A\otimes \hat 1+ \hat 1\otimes \hat O_B$ und wann nehmen Operatoren die Form an

{\hat{Ö}}_{A} \otimes {\hat{Ö}}_{B} .

$\hat O_A\otimes \hat O_B.$ Der Paritätsoperator hat beispielsweise diese Form. Gibt es eine einfache Möglichkeit zu sagen, wie Operatoren in einen Produktraum "übertragen" werden?

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Kombinieren von zwei 1D-Hamiltonoperatoren: Wie konstruiert man den neuen Hamiltonoperator richtig?

Löslicher Fisch · Answer 1

Eine erste Antwort im Fall des Hamilton-Operators ist die Dimensionsanalyse: $H_A\otimes H_B$ hat die Dimension der Energie zum Quadrat, also ist es kein guter Kandidat für den Hamiltonian.

Eine tiefgreifendere Antwort ist, dass unitäre Operatoren mit dem Tensorprodukt erweitert werden, während hermitische Operatoren mit der Summenregel (wie dem Hamilton-Operator) erweitert werden.

Zum Beispiel der Zeitentwicklungsoperator $U(t) = e^{-i\hat Ht /\hbar}$ löst die Schrödinger-Gleichung. Wenn Sie zwei Lösungen erhalten $|\psi_A(t)\rangle = U_A(t) |\psi_A(0)\rangle$ Und $|\psi_B(t)\rangle= U_B(t) |\psi_B(0)\rangle$ , erwarten Sie (da Sie keine Kopplung zwischen den beiden Subsystemen einführen, dass $|\psi_A(t)\rangle \otimes |\psi_B(t)\rangle$ ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung für das kombinierte System.

Das ist :

U_{A B} (T) = U_{A} (T) \otimes U_{B} (T)

$U_{AB}(t) = U_A(t)\otimes U_B(t)$ Seit seit

i ℏ \frac{d}{d t} U (t) |_{t = 0} = H

$i\hbar\frac{d}{dt} U(t)|_{t=0} = H$ , indem man eine Zeitableitung bei nimmt

t = 0

$t=0$ , du erhältst :

H_{A B} = {\hat{H}}_{A} \otimes {ICH}_{B} + {ICH}_{A} \otimes H_{B}

$H_{AB} = \hat H_A \otimes \mathbb I_B + \mathbb I_A \otimes H_B$

Allgemeiner werden Symmetrieoperatoren (z. B. Translationen, Rotationen, Parität usw.) unter Verwendung des Tensorprodukts erweitert. Bei kontinuierlichen Symmetrien führt eine Ableitung dazu, dass sich die Generatoren (Impuls, Drehimpuls, Spin usw.) nach der Summenregel ausdehnen.

Bedeutet dies, dass Operatoren, die den Elementen der Lie-Gruppe entsprechen, zu Tensorprodukten werden und die entsprechenden hermiteschen Operatoren, die auf den Elementen der Lie-Algebra basieren, zu einer Summe von Operatoren werden?
@HansWurst ja. Eigenwerte von Generatoren sind additiv, aber Eigenfunktionen sind multiplikativ.
@HansWurst Grundsätzlich ja. Um etwas formaler zu sein, würde man über Darstellungen von Lie-Gruppen und Lie-Algebren sprechen

Kombinieren von zwei 1D-Hamiltonoperatoren: Wie konstruiert man den neuen Hamiltonoperator richtig?

Hans Wurst

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Löslicher Fisch

Hans Wurst

ZeroTheHero

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