Tensorprodukt von Operatoren in QM

Zunächst einmal die Gleichung

$$\begin{equation}A\otimes B=A\otimes \mathbb{1}+\mathbb{1}\otimes B,\end{equation}$$ ist eine Behauptung über eine Identität, und diese Behauptung ist falsch. Beachten Sie das für $1\times 1$Matrizen, die Matrizen sind Zahlen und die obige Gleichung reduziert sich auf $$a\cdot b = a\cdot 1 + 1 \cdot b$$ was eindeutig falsch ist, weil der Zusatz (die rechte Seite ist nur $a+b$) ist etwas anderes als Multiplikation!

Wenn wir einen Hilbert-Raum haben$H = H_A \otimes H_B$und es gibt einen Basiswechsel im Hilbertraum$H_A$getrennt und ein$H_B$separat der Basiswechsel im Hilbertraum$H = H_A \otimes H_B$ist das Tensorprodukt der beiden Transformationsmatrizen,$A\otimes B$, in Ihrer Notation (auch in Blockform mit diesen ausgedrückt$a_{11}B$usw.) und nicht$A\otimes 1 + 1\otimes B$.

Das lässt sich leicht berechnen. Die Basisvektoren transformieren sich als

$$a_j = a'_i \cdot A_{ij}, \quad b_j = b'_i\cdot B_{ij}$$ (oder die Reihenfolge der Indizes ändern oder welche Seite die Primzahl hat oder die Matrix umkehren oder transponieren usw. – zumindest einige dieser Auswahlmöglichkeiten sind Konventionen; Sie müssen darauf achten, immer konsistente Konventionen zu verwenden) und die Basisvektoren von $H_A\otimes H_B$Sind $$a_j\otimes b_\ell = a'_i \cdot A_{ij}\otimes b'_k\cdot B_{k\ell} = (a'_i\otimes b'_k) \cdot A_{ij}B_{k\ell}$$ Hier gilt die Regel, dass die Tensormultiplikation algebraisch wie eine normale Multiplikation behandelt wird (ohne Identifizierung von Indizes oder Summation über Indizes). Die Transformationsmatrix in $H_A\otimes H_B$ist deshalb $A_{ij}B_{k\ell}$Wo $i,k$sind Teile des "ersten" Index generalisierend $i$oder $k$, Und $j,\ell$sind analog der zweite Index.

Der Ausdruck

$$A\otimes 1 + 1\otimes B$$ ist auch wichtig und taucht an vielen Stellen auf, aber wir müssen die "Ableitungen", die Änderungen unter den infinitesimalen Transformationen, diskutieren. Das liegt daran, dass der obige Ausdruck analog zur Leibniz-Regel für die Ableitung des Produkts ist $$(ab)' = a'b + ab'$$ In der Quantenmechanik können Ableitungen auch als Kommutatoren dargestellt werden. Zum Beispiel, wenn $\vec J$ist dann der Operator des Gesamtdrehimpulses $$[J_z,A]$$ ist der Operator, der die misst $z$-Komponente des vom Bediener getragenen Drehimpulses $A$. Ähnlich für $B$. Da wir den Kommutator mit einem Produkt in die Summe zweier kommutatorähnlicher Terme zerlegen können, $$[J_z,AB] = J_z AB - AB J_z = J_z AB - A J_z B + A J_z B - AB J_z = [J_z,A]B+A[J_z,B]$$ man kann sehen, dass das Ergebnis des Handelns mit $J_z$im Großen und Ganzen $AB$ist eine Summe aus zwei Termen – der Drehimpuls von $A$und der Drehimpuls von $B$. Das geben die beiden von dir erwähnten Terme denn den Drehimpuls aus $A$wirkt nur als $J_z^A$auf dem Platz $H_A$, aber es fungiert als Identitätsoperator (eins) für das Leerzeichen $H_B$, und umgekehrt, und deshalb haben Sie die Tensorprodukte mit der Identitätsmatrix.

Also die Ausdrücke$A\otimes 1+1\otimes B$würde erscheinen, aber nicht, wenn Sie eine "endliche" Änderung der Basen berücksichtigen, sondern wenn Sie nur Änderungen von Basen berücksichtigen, die "unendlich nahe" an der Identitätsänderung liegen (überhaupt keine Änderung), und wenn Sie einen Unterschied zwischen diesen machen würden zwei Ausdrücke (eine Ableitung in Bezug auf einige Parameter, die die Änderung der Basen bezeichnen, in der Nähe der trivialen Transformation genommen).

In Bezug auf Gruppen und Algebren das Einfache$A\otimes B$gibt uns die Matrix einer endlichen Transformation in der Lie-Gruppe, wie sie auf die Tensorproduktdarstellung wirkt$H_A\otimes H_B$. Andererseits,$A\otimes 1+1\otimes B$ist die Form des Lie- Algebra- Generators in Bezug auf denselben Raum. Elemente der Lie-Algebren sind Matrizen/Operatoren$(g-1)/\epsilon$Wo$g$ist ein Gruppenelement, das der Identität infinitesimal nahe kommt$1$der Lie-Gruppe.

Ergänzend zu Lubos 'Antwort möchte ich diesen Teil genauer ansprechen:

Ich bin sehr verwirrt darüber - eigentlich - ich vermute, dass Transformationen geschrieben werden können$A⊗B$sind eine Teilmenge aller möglichen Transformationen, wobei alle 16 Koeffizienten frei sind.

Das ist richtig. Zunächst einige Notationen: Let$H_1$Und$H_2$seien zwei (endlich dimensionale) Hilbert-Räume für zwei Quantensysteme, und$End(H_1), End(H_2)$sei der Vektorraum der Operatoren, die auf diesen Räumen wirken. Wie Sie wissen, betrachten wir, wenn wir beide Systeme gleichzeitig betrachten wollen, das Tensorprodukt$H_1 \otimes H_2$. Lassen$dim(H_1) = n$mit Grundlage$\{v_i\}$Und$dim(H_2) = n$mit Grundlage$\{w_j\}$, und beachten Sie, dass da$H_1 \otimes H_2$Grundlage hat$\{v_i \otimes w_j\}$,$dim(H_1 \otimes H_2) = nm$. Dies bedeutet, dass der allgemeinste Vektor$x \in H_1 \otimes H_2$kann geschrieben werden als

$$x = \sum_{i,j} c_{ij} v_i \otimes w_j ,$$ also brauchen wir $nm$Koeffizienten, um hier einen Vektor anzugeben. Es gibt auch den Unterraum, der aus "reinen" Zuständen besteht, die als faktorisiert werden können $x = v \otimes w$. Dies ist eine Teilmenge aller möglichen Vektoren und ist tatsächlich isomorph zu $H_1 \times H_2$, das direkte Produkt (auch allgemein geschrieben als $H_1 \oplus H_2$, und die direkte Summe genannt). Mit anderen Worten, das Tensorprodukt enthält eine Kopie des direkten Produkts, das eine Dimension hat $n+m$, also kann NICHT jeder Zustand faktorisiert geschrieben werden, da $n+m < nm$(unter der Annahme, dass die Abmessungen dieser Räume größer als eins sind).

Die Situation für die handelnden Betreiber$H_1 \otimes H_2$ist ganz ähnlich: Natürlich haben wir$End(H_1 \otimes H_2) = End(H_1)\otimes End(H_2)$, die Dimension haben würde$n^2m^2$(=16 für Ihr Beispiel) und enthält einen Unterraum, der isomorph zu ist$End(H_1) \times End(H_2)$die aus Operatoren der Form besteht$A\otimes B$, die Dimension hat$n^2 + m^2$(= 8 für Ihr Beispiel).

Das Wichtigste ist, dass sich das Tensorprodukt stark vom direkten Produkt/der direkten Summe unterscheidet.