Wie wird ein Operator in der Quantenmechanik auf eine Wellenfunktion angewendet? [geschlossen]

Question

Wie wird ein Operator in der Quantenmechanik auf eine Wellenfunktion angewendet? [geschlossen]

Susie Pendle

Wenn Sie den Hamilton-Operator so geschrieben haben:

\begin{matrix} (1) & \hat{H} = - \frac{ℏ}{2 M} \frac{1}{R} \frac{\partial^{2}}{\partial R^{2}} R \end{matrix}

$\hat H = -\frac{\hbar}{2m}\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r \tag{1}$

Um dann den Hamilton-Operator auf eine Wellenfunktion anzuwenden, wenden Sie die einzelnen Operationen in der Reihenfolge von rechts nach links an, wie in:

\begin{matrix} (2) & \hat{H} Ψ = - \frac{ℏ}{2 M} (\frac{1}{R} (\frac{\partial^{2}}{\partial R^{2}} (R Ψ))) \end{matrix}

$\hat H \Psi = -\frac{\hbar}{2m}(\frac{1}{r}(\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r \Psi))) \tag{2}$

usw?

Zuerst dachte ich, Sie hätten jede Operation einzeln auf die Wellenfunktion angewendet und dann alle Abschnitte miteinander multipliziert, aber das scheint ziemlich klobig zu sein.

Verzeihen Sie mir, dass ich so eine ahnungslose Frage stelle, aber ich kann die Antwort nirgendwo finden!

Antworten (2)

Wie wird ein Operator in der Quantenmechanik auf eine Wellenfunktion angewendet? [geschlossen]

CR Drost · Answer 1

Es ist dasselbe wie Matrizenmathematik. Im Allgemeinen ist die Quantenmechanik lineare Algebra in lustigen Hüten.

Angenommen, ich möchte berechnen $\frac 12 \langle \hat X \hat P + \hat P \hat X\rangle,$ die nächste beobachtbare Hermitesche im Moment $\langle x p \rangle$ in der klassischen Mechanik. Die Beziehung das $[\hat X, \hat P] = i\hbar$ wird üblicherweise so verstanden, dass in der Positionsbasis $\hat X = (x\cdot)$ während $\hat P = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x},$ Der erste Teil dieses Integrals lautet also:

⟨ \hat{X} \hat{P} ⟩ = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} D X Ψ^{*} (X) \cdot X \cdot \frac{\partial Ψ}{\partial X},

$\langle \hat X \hat P\rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^\infty dx~\Psi^*(x)\cdot x\cdot\frac{\partial\Psi}{\partial x},$ während der zweite Teil ist

⟨ \hat{P} \hat{X} ⟩ = - ich ℏ \int_{- \infty}^{\infty} D X Ψ^{*} (X) \cdot \frac{\partial}{\partial X} (X \cdot Ψ (X)) .

$\langle \hat P \hat X\rangle = -i\hbar\int_{-\infty}^\infty dx~\Psi^*(x)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(x \cdot \Psi(x)\big).$ Das Nebeneinander

\hat{X} \hat{P}

$\hat X~\hat P$ ist wirklich eine Art Operatorkomposition, genauso wie die Matrixmultiplikation zwischen zwei Matrizen eine Komposition der Transformationen bildet, die sie beschreiben.

QMechaniker · Answer 2

Ja, OP hat Recht: Wir verstehen die Zusammensetzung von Operatoren $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ als
$\begin{matrix} (A) & (\hat{A} \circ \hat{B}) (v) := \hat{A} (\hat{B} (v)), \end{matrix}$ $(\hat{A}\circ \hat{B})(v)~:=~ \hat{A}(\hat{B}(v)), \tag{A}$ Wo $v$ ist ein Vektor. Beachten Sie, dass das Kompositionssymbol " $\circ$ " und Klammer " $()$ " werden oft nicht explizit geschrieben. Dies stimmt mit den Gleichungen (1) und (2) von OP überein. So weit, so gut.
Überraschend kompliziert wird es, wenn wir diese Regel (A) auf die Dirac-Notation anwenden . Dann definieren wir
$\begin{matrix} (B) & ψ (X) := ⟨ X | ψ ⟩ = | X ⟩^{†} | ψ ⟩, \end{matrix}$ $\psi(x)~:=~\langle x | \psi \rangle ~=~| x \rangle^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{B}$ $\begin{matrix} (C) & (\hat{A} (ψ)) (X) := ⟨ X | \hat{A} | ψ ⟩ = {({\hat{A}}^{†} | X ⟩)}^{†} | ψ ⟩, \end{matrix}$ $(\hat{A} (\psi))(x)~:=~ \langle x |\hat{A}| \psi \rangle ~=~\left(\hat{A}^{\dagger}| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{C}$ $\begin{matrix} (D) & ((\hat{A} \circ \hat{B}) (ψ)) (X) := ⟨ X | (\hat{A} \circ \hat{B}) | ψ ⟩ = {(({\hat{B}}^{†} \circ {\hat{A}}^{†}) | X ⟩)}^{†} | ψ ⟩, \end{matrix}$ $((\hat{A}\circ \hat{B})(\psi))(x) ~:=~ \langle x |(\hat{A}\circ \hat{B})| \psi \rangle ~=~\left((\hat{B}^{\dagger}\circ \hat{A}^{\dagger})| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle, \tag{D}$ und so weiter. Hier $|x\rangle$ bezeichnet den Positions-Ket-Zustand mit Eigenwert $x$ , $\begin{matrix} (E) & \hat{X} | X ⟩ = X | X ⟩ . \end{matrix}$ $\hat{x}|x\rangle ~=~x |x\rangle. \tag{E}$
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Operatoren $\hat{A}$ , $\hat{B}$ usw. sind selbstadjungiert. Wenn man die lhs noch nie gesehen hat. von Gl. (d) Vorher könnte man sich Sorgen machen, dass die Betreiber $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ scheinen in der falschen Reihenfolge zusammengesetzt zu sein! Es stellt sich heraus, dass es am Ende doch richtig funktioniert. Siehe zB das nächste Beispiel.
Beispiel: Die Konvention (A) impliziert das
$\begin{matrix} (F) & \hat{P} \circ \hat{X} | X ⟩ \overset{(A) + (E)}{=} X \hat{P} | X ⟩, \end{matrix}$ $\hat{p}\circ \hat{x}|x\rangle ~\stackrel{(A)+(E)}{=}~x \hat{p}|x\rangle \tag{F},$ Weil $\hat{p}$ ist ein linearer Operator. Deshalb berechnen wir $((\hat{X} \circ \hat{P}) (ψ)) (X) \overset{(D)}{=} {((\hat{P} \circ \hat{X}) | X ⟩)}^{†} | ψ ⟩ \overset{(F)}{=} X {(\hat{P} | X ⟩)}^{†} | ψ ⟩ \overset{(C)}{=} X (\hat{P} (ψ)) (X),$ $((\hat{x}\circ \hat{p})(\psi))(x) ~\stackrel{(D)}{=}~\left((\hat{p}\circ \hat{x})| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle ~\stackrel{(F)}{=}~x\left(\hat{p}| x \rangle\right)^{\dagger}| \psi \rangle ~\stackrel{(C)}{=}~x(\hat{p}( \psi))(x),$ so wie es sein sollte. Siehe auch meine verwandte Phys.SE-Antwort hier .

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Susie Pendle

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CR Drost

QMechaniker

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