Wie zeige ich, dass die Eigenzustände eines Hamiltonoperators orthonormal gemacht werden können?

Ich habe mir den ganzen Abend darüber die Haare raufen lassen. Es sollte einfach sein, aber ich muss irgendwo etwas vermissen. Kann mir bitte jemand zeigen, wie ich beweisen kann, dass die Eigenzustände eines Hamilton-Operators orthonormal gemacht werden können?

Hinweis: Verwenden Sie die Tatsache, dass der Hamiltonoperator hermitesch ist, und betrachten Sie das Skalarprodukt ⟨ F | H G ⟩ .
Um den Hinweis von @ BrianBi zu verwenden, müssen Sie auch davon ausgehen, dass die den Eigenzuständen entsprechenden Eigenwerte unterschiedlich sind. Wenn die Eigenwerte gleich sind, können Sie sie nach Gramm-Schmidt orthogonal machen.
In Bezug auf Ihre Antwort in diesem zweiten Link, Qmechanic, sehe ich das Problem mit nicht-orthogonalen Eigenräumen nicht, vorausgesetzt, wir ändern unsere Born-Regel in „die Wahrscheinlichkeit des Zusammenbruchs in den Zustand“. e → 1 ist das Quadrat e → 1 Bestandteil des Vektors ψ in der Grundlage e → ich '. Für eine orthonormale Basis können wir diese Komponente erhalten, indem wir das Skalarprodukt mit nehmen e → 1 (Wiederherstellung der Born-Regel), aber in einer beliebigen Basis können wir immer noch eine Komponente extrahieren, wir brauchen nur den reziproken Basisvektor. Projektionen haben immer noch Bedeutung in nicht-orthonormalen Basen.

Antworten (1)

  1. Wir beweisen zuerst die Orthogonalität nicht entarteter Eigenvektoren des Hamiltonoperators. Betrachten Sie den Braket und agieren Sie mit dem Hamiltonoperator in beide Richtungen,

    ⟨ a | H | β ⟩ = E a ⟨ a | β ⟩ = E β ⟨ a | β ⟩

    Wenn die Zustände nicht orthogonal sind ( ⟨ a | β ⟩ ≠ 0 ) dann würden wir einen Widerspruch erhalten, da wir davon ausgehen, dass die Zustände nicht entartet sind ( E a ≠ E β ). Also müssen wir haben

    ⟨ a | β ⟩ = 0

    für verschiedene Zustände.

  2. Nun müssen wir beweisen, dass das Braket zweier Eigenzustände gleich ist 1 bis zu einer Phase. Betrachten Sie die Bremse:

    ⟨ a | a ⟩ = ∑ N ⟨ a | N ⟩ ⟨ N | a ⟩ = ⟨ a | a ⟩ ⟨ a | a ⟩

    wobei wir eine Summe über die Zustände des Hamiltonoperators eingefügt und dann die oben bewiesene Orthogonalitätsrelation verwendet haben. Jetzt können wir beide Seiten durch dividieren ⟨ a | a ⟩ zu bekommen

    ⟨ a | a ⟩ = 1

  3. Wir haben also nur nicht entartete Eigenvektoren betrachtet. Degenerierte Eigenvektoren können nicht unterschieden werden und müssen nicht orthogonal zueinander sein. Für jeden Satz linear unabhängiger Vektoren (alle Wellenfunktionen eines Hamilton-Operators sind linear unabhängig) gibt es jedoch lineare Kombinationen von ihnen, die orthogonal sind, die durch das Gram- Schmidt-Verfahren gefunden werden können . Somit kann man die Vektoren linear unabhängig wählen.
+1 Sie müssen wahrscheinlich hinzufügen, dass Sie bei gleichen Eigenwerten einen endlichen Satz entarteter Eigenvektoren durch den Gramm-Schmidt-Prozess orthogonal anordnen können.
Wie zeige ich, dass die Eigenzustände eines Hamiltonoperators orthonormal gemacht werden können?
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