Wiederherstellung des Hamilton-Operators von Leiteroperatoren

Der Hamiltonoperator für den harmonischen Quantenoszillator ist

H ^ = − ℏ 2 2 M ∂ 2 ∂ X 2 + 1 2 M ω 2 X 2

und man kann versuchen, es zu faktorisieren, indem man aufschreibt, was sich später als Leiteroperatoren des Eigenspektrums herausstellen wird

A ^ = M ω 2 ℏ ( X ^ + ich M ω P ^ ) A ^ † = M ω 2 ℏ ( X ^ − ich M ω P ^ )

Jetzt, in einer Problemklasse, die ich betreue, wurden die Schüler gebeten, "zu zeigen, dass wir den Hamilton-Operator ausdrücken können H ^ bezüglich A ^ † Und A ^ “, mit der Idee, die Relation zu erhalten

H ^ = ℏ ω ( A ^ † A ^ + 1 2 )

Die Lösung dieser Frage ist so angelegt, dass die Schüler die Kombination einfach „raten“ sollen A ^ † A ^ der richtige Weg ist, oder man kommt durch Versuch und Irrtum dorthin.

Frage: Was ist der beste / intuitivste Weg, um zu erklären, warum dies der Fall ist?

Schreiben P ^ = − ich ℏ ∂ X , ist es leicht zu rechtfertigen, eine quadratische Form der Operatoren anzunehmen, aber warum nicht zB einfach quadrieren?

wenn du deutsch verstehst, p. 100 unten + 101 in diesen Skripten ist ganz nützlich: theorie.physik.uni-konstanz.de/burkard/sites/default/files/…
Quadratwurzeln müssen quadriert werden, und komplexe Konjugierte müssen multipliziert werden!
Es ist klarer, wenn Sie die Teiltöne in Bezug auf schreiben X bezüglich P ^ . Dann greifen Sie einfach auf Algebra zurück und faktorisieren Polynome wo ( A 2 − B 2 ) war ein Fall, der es wert war, auswendig gelernt zu werden.
@dmckee Ja, das kann ich sehen - und so erhalten Sie Ihre Operatoren überhaupt. Aber umgekehrt, gibt es eine Intuition, warum wir nehmen A ^ † A ^ anstatt A ^ 2 , abgesehen von der Überprüfung, ob wir unerwünschte Kreuzbegriffe loswerden?
Lösen für X Und P bezüglich A Und A † . Setzen Sie dies dann in den Hamilton-Operator ein und vereinfachen Sie.

Antworten (4)

  • Wir kennen die explizite Form von A Und A † bezüglich P Und X .
  • Wir kennen den Ausdruck von H bezüglich P Und X .

Also einfach ausdrücken P Und X als Funktion von A Und A † , dann setze das Ergebnis in die Formel für ein H . Suchen Sie dazu einfach A + A † Und A − A † , der Rest wird leicht folgen.

Wie wäre es mit diesem Ansatz:

  • Wir kennen diese Positionsmessungen X ^ | N ⟩ reelle Zahlen liefern;
  • Wir kennen diese Impulsmessungen P ^ | N ⟩ reelle Zahlen liefern;
  • Wir kennen diese Energiemessungen H ^ | N ⟩ sollen auch reelle Zahlen liefern.

Angesichts dieser Faktoren stellen wir fest, dass, wenn wir den Operator konstruieren möchten H ^ von irgendeinem Betreiber A ^ ∼ X ^ + ich P ^ , dann müssten wir das irgendwie loswerden ich reale Werte für die Energien zu erhalten. Der offensichtliche Weg, dies zu tun, wäre, sich zu vermehren A ^ durch sein hermitisches Konjugat, um das zu eliminieren ich , und dann sehen, was wir damit machen können A ^ A ^ † .

Das merkt man

H = P 2 2 M + 1 2 k X 2 = 1 2 k ( X + ich P M ω ) ( X − ich P M ω ) ,
was die Form der Erstellungs- und Zerstörungsoperatoren vorschlägt, bis hin zu geeigneten Konstanten.

Außerdem gelten die klassischen mechanischen Bewegungsgleichungen z X Und P für einen harmonischen Oszillator sind

X ˙ = P M , P ˙ = − k X .
In Matrixform geschrieben:
D D T ( X P ) = U ( X P ) , U = ( 0 1 / M − k 0 ) .
Die Matrix U koppelt somit die Evolution von X Und P . Man kann nach neuen Variablen suchen X Und P damit deren Entwicklungen entkoppelt sind; dies läuft darauf hinaus, die Eigenvektoren von zu finden U .

Es ist eine einfache Aufgabe zu zeigen, dass die Eigenwerte von U Sind ± ich ω , und die Eigenvektoren

X = A ( X + ich P M ω ) , P = B ( X − ich P M ω ) , ω 2 = k / M ,
die proportional zu den Zerstörungs- bzw. Erzeugungsoperatoren sind.

Die erste Methode ist die Wurzel der Infeld-Hull-Faktorisierungsmethode, die wiederum eng mit Superpotentialen in der supersymmetrischen Quantenmechanik verwandt ist.

Sie können sie nach der Energie jedes Fock-Zustands suchen lassen | N > und finden Sie heraus, dass es ist ℏ ω ( N + 1 2 ) (die Energie des Oszillators ist quantisiert) und das können Sie auch sehen N = A † A ist der Zahlenoperator. N | N >= N | N >

Das würde Sinn machen. Leider bin ich nur der Demonstrator, nicht der Dozent, und ich habe kein Mitspracherecht, was in die Aufgabenblätter kommt... Das Ganze ist also nur in Bezug auf explizite Wellenfunktionen und die Ausdrücke für aufgebaut A ^ Ich gab.
Tatsächlich ist dies Frage 2, und Frage 1 wird angezeigt [ A ^ , A ^ † ] = 1 - Ich denke, nur um sicherzustellen, dass die Schüler sehen, dass sie konsistente Antworten erhalten, selbst wenn sie es wünschen H ^ = ℏ ω ( A ^ A ^ † − 1 2 ) .
Sie können die Aufgabe noch anders an die Tafel stellen, so würde ich es machen.
Wiederherstellung des Hamilton-Operators von Leiteroperatoren
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v