Warum hängt der Zeitentwicklungsoperator U(t)U(t)U(t) im Schrödinger-Bild explizit von der Zeit ab?

Andere Leute haben großartige Antworten gegeben, ich wollte nur meine 2 Cent hinzufügen, falls Ihnen die Kombination mit den anderen Antworten weiterhilft.

Im Schrödinger-Bild ist die Behauptung nicht, dass alle Operatoren zeitunabhängig sind. Vielmehr lautet die Behauptung: Zustände entwickeln sich mit der Zeit, Beobachtbare Operatoren sind zeitunabhängig . Also mein Zustand im Schrödinger-Bild$|\psi_S\rangle$hängt von der Zeit ab:$|\psi_S\rangle = |\psi_S(\vec{r}, t)\rangle$und meine beobachtbaren Operatoren werden nicht von der Zeit abhängen:$S_x \neq S_x(t)$.

Operatoren, die nicht beobachtbaren Größen entsprechen, können jedoch von der Zeit abhängen.$U(t)$kein Operator ist, der einer Observable entspricht (dies ist offensichtlich, da$U(t)$ist nicht hermitesch).

Im Heisenberg-Bild sind es Zustände, die sich nicht mit der Zeit entwickeln, und beobachtbare Operatoren, die dies tun.

Hoffentlich hilft das!

Der Zeitentwicklungsoperator$U(t)$ist im Schrödinger nicht wirklich ein Operator beobachtbar$^1$noch die Heisenberg-Bilder an sich, sondern ein Verflechtungsoperator zwischen den beiden Bildern.

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$^1$Es ist wahrscheinlich auch erwähnenswert, dass Operator-Observables im Schrödinger-Bild prinzipiell Zeitabhängigkeit haben könnten, typischerweise aufgrund externer Quellen.

Als Operator spiegelt der Zeitentwicklungsoperator die zeitliche Entwicklung eines Zustandskets wider. Angenommen, Sie haben einen Zustand ket gegeben durch$\vert\alpha,t_0\rangle$bei$t=t_0$. Der Zeitentwicklungsoperator teilt Ihnen die Entwicklung des Zustands ket zu einem späteren Zeitpunkt mit$t$,$\vert\alpha,t_0;t\rangle$.

Für den einfachen Fall, dass der Hamiltonoperator des Systems zeitunabhängig ist, hat der Zeitentwicklungsoperator die Form

$$U(t,t_0)=exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$$

was aus der Schrödinger-Gleichung für den Zeitentwicklungsoperator folgt:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=HU(t,t_0)$$

Wie Sie sehen können, hängt der Zeitentwicklungsoperator nicht von den absoluten Werten beider ab$t$oder$t_0$, sondern es kommt nur auf den Unterschied zwischen den beiden an. Der Zeitentwicklungsoperator hat also keine explizite Abhängigkeit von der Zeit.

Das heißt, angesichts des Zeitintervalls, in dem die Evolution stattfindet, sind die Matrixelemente des Operators in Bezug auf Basis-Kets des Hamilton-Operators nicht zeitveränderlich. Sie können mit dem Begriff verwechselt werden$t-t_0$im Betreiber. Dies ist dort notwendig, weil es über die zeitliche Entwicklung des Zustands ket in diesem Zeitintervall Auskunft gibt, vorausgesetzt, Sie kennen den Anfangszustand des Systems. Aber innerhalb dieses bestimmten Zeitintervalls ändert sich das Bedienerformular nicht.

Eine Analogie kann mit dem Fall stationärer Kets gezogen werden. Wie der Name schon sagt, ändern sie sich zeitlich nicht. Wenn Sie jedoch die Wellenfunktion analysieren,

$$\psi(x,t)=\psi(x)e^{-\frac{iHt}{\hbar}}$$

es gibt einen zeitabhängigen Teil. Bedeutet dies also, dass sich der stationäre Zustand mit der Zeit entwickelt? Es ist ein bisschen ja. Obwohl sich die Zustände selbst mit der Zeit entwickeln, ist jede messbare Größe oder der Erwartungswert von Observablen immer noch zeitunabhängig. Wie ist das möglich? Der zeitabhängige Teil kann nur zu einer Änderung des Phasenfaktors führen – das ist alles.

Kurz gesagt, für ein bestimmtes Zeitintervall der Evolution ändert die Wellenfunktion im Allgemeinen ihre Form, der Operator jedoch nicht. Das ist genau das Bild von Schrödinger.

Konzeptionell ist es normalerweise besser, an den Zeitentwicklungsoperator zu denken$U(t_f, t_i)$als abhängig von zwei Zeiten: einer Anfangs- und einer Endzeit. Wenn wir es in das Formular schreiben$U(t)$Da wir abhängig von einem einzigen Zeitpunkt entweder (a) vermieten$t := t_f$und implizite Einstellung$t_i$zu einer verstandenen Referenzzeit wie z$t_i = 0$, und/oder (b) wenn das System zeittranslationsinvariant ist, dann$U$kommt nur auf den unterschied an$t_f - t_i$, und wir bezeichnen diesen Unterschied mit$t$. (Fall (b) kann man sich als Spezialfall von Fall (a) vorstellen.) Während wir damit in vielen nützlichen Situationen oft durchkommen, gilt es streng genommen nur in Spezialfällen.

Um die allgemeinen Eigenschaften der Zeitentwicklungsoperatoren zu verstehen, ist es besser, den allgemeinen Fall mit zwei Zeiten zu betrachten und darüber nachzudenken$U(t_f, t_i)$. Wenn wir dies tun, sehen wir, dass der Zeitentwicklungsoperator zu einem bestimmten Zeitpunkt keinen bestimmten Wert hat – stattdessen beschreibt er von Natur aus die Beziehung zwischen zwei verschiedenen Zeiten. Es ist eher ein Verschiebungsvektor als ein Positionsvektor. (Auch im zeittranslational invarianten Fall, der Ein-Argument-Version$U(t_f - t_i)$ist technisch über einen eindimensionalen affinen Raum definiert , und nicht wie erwartet über einen eindimensionalen Vektorraum.)