Zeitentwicklungsoperator

Question

Zeitentwicklungsoperator

Ana Branco

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right\rangle}$ $\renewcommand{\bra}[1]{\left \langle #1 \right\rvert}$ Ich beginne mit diesem Ausdruck für den Hamiltonoperator:

H = A (| 1 ⟩ ⟨ 1 | - | 2 ⟩ ⟨ 2 | - ich | 1 ⟩ ⟨ 2 | + ich | 2 ⟩ ⟨ 1 |) .

$H = a \left(\ket{1} \bra{1} - \ket{2}\bra{2} -i \ket{1}\bra{2} + i \ket{2} \bra{1}\right) \, .$ Dann schreibe ich die Matrix auf der Grundlage des obigen Ausdrucks auf. Ich berechne die Eigenwerte, die sind

E_{1} = \sqrt{2} a

$E_1=\sqrt{2}a$ Und

E_{2} = - \sqrt{2} a

$E_2=-\sqrt{2}a$ Dann habe ich die Matrix des Hamiltonions in die Basis der Eigenzustände geschrieben (matrix

A

$\mathbf{A}$ ). Die Basis der Eigenzustände ist

| μ_{1} ⟩

$\ket{\mu_1}$ Und

| μ_{2} ⟩

$\ket{\mu_2}$ .

Definieren $E_0 \equiv \sqrt{2}a$

Gegeben sei die Matrix des Hamiltonoperators:

A = (\begin{matrix} E_{0} & 0 \\ 0 & - E_{0} \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf A = \begin{pmatrix} E_0 & 0 \\ 0 & -E_0 \end{pmatrix} \end{equation*}$

Und zwei Matrizen $\mathbf B$ Und $\mathbf C$ :

B = (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}$

C = (\begin{matrix} 2 & - ich \sqrt{2} \\ ich \sqrt{2} & 1 \end{matrix})

$\begin{equation*} \mathbf C = \begin{pmatrix} 2 & -i\sqrt{2} &\\ i\sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}$

Eine der Fragen ist, die Messung im Bediener durchzuführen $\mathbf B$ und Eigenwert erhalten $1$ . Nun wurde nach einiger Zeit eine neue Messung durchgeführt $\mathbf B$ (wissend, dass $\mathbf C$ wurde nicht gemessen), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu erhalten $1$ nochmal?

Ich dachte, der erste Schritt wäre, den Ausdruck für die Zeitentwicklung zu schreiben, deshalb habe ich die Anfangsfrage gestellt. Aber ich verstehe die Lösungen meines Lehrers nicht? was ist dieser Ausdruck:

\begin{matrix} (ii) & | ψ (T) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{- ich \frac{E_{1}}{ℏ} T} | μ_{1} ⟩ + e^{- ich \frac{E_{2}}{ℏ} T} ich | μ_{2} ⟩) \end{matrix}

$\ket{\psi(t)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}\ket{\mu_1}+e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}i\ket{\mu_2} \right) \tag{ii}$

Ich verstehe nicht warum $\ket{\mu_2}$ wird multipliziert mit $i$ ? Ich dachte, ich hätte den Prozess verstanden, aber dieses Problem verwirrte mich wirklich.

Ana Branco

du nicht? Sie müssen das Exponential des Hamilton-Operators nicht mit dem Ket bei t = 0 multiplizieren?

Ana Branco

Ich glaube, ich denke nicht richtig, ich werde den Beitrag bearbeiten, um mich besser zu erklären,

Ana Branco

Matrix c ist später Teil des Problems, ich habe sie nur verwendet, um die Tatsache auszudrücken, dass in Operator C keine Messung durchgeführt wird. Es tut mir so leid für die Verwirrung. Es ist verwirrend für mich, also fällt es mir schwer, meine Zweifel auszudrücken.

Ana Branco

entsprechend der Problemmatrix wird B in die Eigenbasis des Hamiltonions geschrieben.

Tobias Fünke

@AnaBranco Nun, ich bin ein bisschen verwirrt, um ehrlich zu sein. Ich denke, Sie sollten den Eigenvektor verwenden, der dem Eigenwert von entspricht

1

$1$ von

B

$B$ als Ausgangszustand. Sie können diesen Zustand durch die Eigenzustände von ausdrücken

H

$H$ . Dann wenden Sie den Zeitentwicklungsoperator an. Dann könnten Sie versuchen, die zu messende Wahrscheinlichkeitsamplitude zu berechnen

1

$1$ nach der Zeit

t

$t$ nochmal. Aber noch einmal, ich weiß es nicht. Es ist eine Vermutung, mehr nicht.

Ana Branco

Wenn Sie den Eigenvektor verwenden, der dem Eigenwert 1 von B entspricht, ist der letzte Ausdruck sinnvoll. Ich habe nur daraus nicht sofort geschlossen, dass der Eigenwert von 1 von B der Anfangszustand war. Das kann ich berücksichtigen, weil die erste Messung in B durchgeführt wurde? Wenn ich also meine Messung in C gestartet habe, sollte ich den Anfangszustand als den Eigenvektor betrachten, der dem Wert entspricht, den ich an erster Stelle erhalten habe?

Tobias Fünke

@AnaBranco Ich kenne die Frage überhaupt nicht oder was du tun sollst. Aber soweit ich diese Frage interpretiere, soll man einen Eigenvektor verwenden (hier den, der dem Eigenwert entspricht

1

$1$ ) von

B

$B$ . Natürlich könnte eine ähnliche Übung darin bestehen, einen Eigenvektor von zu verwenden

C

$C$ (entspricht einem Eigenwert) stattdessen als Anfangszustand ... Wenn Sie können, versuchen Sie, Ihre eigene Frage zu beantworten. So bleibt die Frage nicht „unbeantwortet“! :) Vielleicht hilft es jemandem eines Tages...

Ana Branco

Es tut mir leid, ich habe das Problem geschrieben, aber ich erkläre mich nicht gut. Sie haben die Matrix B mit den Eigenwerten -1 und +1. Jetzt messen Sie den Operator A und erhalten den Eigenwert 1. Lassen Sie etwas Zeit vergehen und messen Sie den Operator A erneut. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie erneut den Eigenwert 1 erhalten? Aber ich habe verstanden, was du gesagt hast, und ich denke, ich kann den Rest des Problems lösen. Vielen Dank für Ihre Zeit und es tut mir leid, dass ich mich nicht besser ausgedrückt habe. Wenn ich Zweifel habe, fällt es mir schwer, mich gut auszudrücken.

Antworten (1)

Zeitentwicklungsoperator

du nicht? Sie müssen das Exponential des Hamilton-Operators nicht mit dem Ket bei t = 0 multiplizieren?
Ich glaube, ich denke nicht richtig, ich werde den Beitrag bearbeiten, um mich besser zu erklären,
Matrix c ist später Teil des Problems, ich habe sie nur verwendet, um die Tatsache auszudrücken, dass in Operator C keine Messung durchgeführt wird. Es tut mir so leid für die Verwirrung. Es ist verwirrend für mich, also fällt es mir schwer, meine Zweifel auszudrücken.
entsprechend der Problemmatrix wird B in die Eigenbasis des Hamiltonions geschrieben.
@AnaBranco Nun, ich bin ein bisschen verwirrt, um ehrlich zu sein. Ich denke, Sie sollten den Eigenvektor verwenden, der dem Eigenwert von entspricht $1$ von $B$ als Ausgangszustand. Sie können diesen Zustand durch die Eigenzustände von ausdrücken $H$ . Dann wenden Sie den Zeitentwicklungsoperator an. Dann könnten Sie versuchen, die zu messende Wahrscheinlichkeitsamplitude zu berechnen $1$ nach der Zeit $t$ nochmal. Aber noch einmal, ich weiß es nicht. Es ist eine Vermutung, mehr nicht.
Wenn Sie den Eigenvektor verwenden, der dem Eigenwert 1 von B entspricht, ist der letzte Ausdruck sinnvoll. Ich habe nur daraus nicht sofort geschlossen, dass der Eigenwert von 1 von B der Anfangszustand war. Das kann ich berücksichtigen, weil die erste Messung in B durchgeführt wurde? Wenn ich also meine Messung in C gestartet habe, sollte ich den Anfangszustand als den Eigenvektor betrachten, der dem Wert entspricht, den ich an erster Stelle erhalten habe?
@AnaBranco Ich kenne die Frage überhaupt nicht oder was du tun sollst. Aber soweit ich diese Frage interpretiere, soll man einen Eigenvektor verwenden (hier den, der dem Eigenwert entspricht $1$ ) von $B$ . Natürlich könnte eine ähnliche Übung darin bestehen, einen Eigenvektor von zu verwenden $C$ (entspricht einem Eigenwert) stattdessen als Anfangszustand ... Wenn Sie können, versuchen Sie, Ihre eigene Frage zu beantworten. So bleibt die Frage nicht „unbeantwortet“! :) Vielleicht hilft es jemandem eines Tages...
Es tut mir leid, ich habe das Problem geschrieben, aber ich erkläre mich nicht gut. Sie haben die Matrix B mit den Eigenwerten -1 und +1. Jetzt messen Sie den Operator A und erhalten den Eigenwert 1. Lassen Sie etwas Zeit vergehen und messen Sie den Operator A erneut. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie erneut den Eigenwert 1 erhalten? Aber ich habe verstanden, was du gesagt hast, und ich denke, ich kann den Rest des Problems lösen. Vielen Dank für Ihre Zeit und es tut mir leid, dass ich mich nicht besser ausgedrückt habe. Wenn ich Zweifel habe, fällt es mir schwer, mich gut auszudrücken.

ytlu · Answer 1

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right\rangle}$ $\renewcommand{\bra}[1]{\left \langle #1 \right\rvert}$ Nach meiner besten Vermutung begann das Problem mit einem Hamiltonian von einigen Basen $\ket{1}$ Und $\ket{2}$ . Lassen Sie mich den Parameter vernachlässigen $a$ . Es ist vorerst irrelevant.

\begin{matrix} (1) & H = (| 1 ⟩ ⟨ 1 | - | 2 ⟩ ⟨ 2 | - ich | 1 ⟩ ⟨ 2 | + ich | 2 ⟩ ⟨ 1 |) . \end{matrix}

$\tag{1} H = \left(\ket{1} \bra{1} - \ket{2}\bra{2} -i \ket{1}\bra{2} + i \ket{2} \bra{1}\right) \, .$

Dieser Hamiltonoperator hat zwei Eigenwerte $E_1 = \sqrt{2}$ Und $E_2 = -\sqrt{2}$ . Der Eigenzustand $\ket{\mu_1}$ des Eigenwertes $E_1$ , Und $\ket{\mu_2}$ für $E_2$ .

Dann ein Operator $\mathbf B$ , seine Matrixform in Bezug auf diese beiden Basen $\ket{\mu_1}$ Und $\ket{\mu_2}$ Sind:

B = (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix})

$\mathbf B = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Zwei Eigenwerte für Matrix $\mathbf B$ Ist $\lambda_\pm= \pm 1$ . Der Eigenvektor für $\lambda_+= 1$ lässt sich leicht finden:

\begin{matrix} (2) & | λ_{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| μ_{1} ⟩ + ich | μ_{2} ⟩) \end{matrix}

$\tag{2} \ket{\lambda_+} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \, \ket{\mu_1} + i \,\ket{\mu_2}\,\right)$

Jetzt führen wir eine Messung durch und ermitteln den Wert von $\mathbf B$ Ist $1$ . Es bedeutet, dass der Staat in ist $\psi(0) = \ket{\lambda_+}$ . Daher ist die Zeitentwicklung für $\psi$ :

ψ (T) = e^{- ich H T} ψ (0) = e^{- ich H T} \frac{1}{\sqrt{2}} (| μ_{1} ⟩ + ich | μ_{2} ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{- ich E_{1} T} | μ_{1} ⟩ + e^{- ich E_{2} T} ich | μ_{2} ⟩)

$\psi(t) = e^{-i\mathbf Ht}\psi(0)= e^{-i\mathbf Ht} \frac{1}{\sqrt 2} \left( \, \ket{\mu_1} + i \,\ket{\mu_2}\,\right) = \frac{1}{\sqrt 2} \left( e^{-iE_1t} \ket{\mu_1} + e^{-iE_2t}i \,\ket{\mu_2}\,\right)$

Diese ähnelt der Handschrift deines Lehrers. Daher schätze ich, dass der Faktor $i$ ist der Koeffizient des Eigenvektors der Matrix $\mathbf B$ .

\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ ich \end{matrix}) .

$\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i\end{pmatrix}.$

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Tobias Fünke

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