Zeitentwicklungsoperator im Interaktionsbild (Harmonischer Oszillator mit zeitabhängiger Störung)

Question

Zeitentwicklungsoperator im Interaktionsbild (Harmonischer Oszillator mit zeitabhängiger Störung)

Benutzer41178

1. Die Problemstellung, alle Variablen und gegebenen/bekannten Daten

Betrachten Sie einen zeitabhängigen harmonischen Oszillator mit Hamilton-Funktion

\hat{H} (T) = {\hat{H}}_{0} + \hat{v} (T)

$\hat{H}(t)=\hat{H}_0+\hat{V}(t)$

{\hat{H}}_{0} = ℏ ω ({\hat{A}}^{†} \hat{A} + \frac{1}{2})

$\hat{H}_0=\hbar \omega \left( \hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\frac{1}{2} \right)$

\hat{v} (T) = λ (e^{ich Ω T} {\hat{A}}^{†} + e^{- ich Ω T} \hat{A})

$\hat{V}(t)=\lambda \left( e^{i\Omega t}\hat{a}^{\dagger}+e^{-i\Omega t}\hat{a} \right)$

*(i) Berechnen $\hat{U}_S(t,0)$ unter Verwendung der Wechselwirkungsdarstellungsformel (Gleichung 1 im nächsten Abschnitt) zur Störungstheorie zweiter Ordnung.

(ii) Berechnen $\hat{U}_S(t,0)$ Verwenden von (Gleichung 2 im nächsten Abschnitt) zur Störungstheorie zweiter Ordnung.

2. Relevante Gleichungen

GLEICHUNG 1:

U_{ICH} (T, 0) = 1 - \frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} v_{ICH} (T^{'}) + {(\frac{- ich}{ℏ})}^{2} \int_{0}^{T} D T^{'} \int_{0}^{T^{'}} v_{ICH} (T^{'}) v_{ICH} (T^{″}) + \dots

$U_I(t,0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_0^t dt' V_I(t')+\left( \frac{-i}{\hbar} \right)^2 \int_0^t dt' \int_0^{t'} V_I(t')V_I(t'') + \dots$

GLEICHUNG 2:

U (T, 0) = 1 + \sum_{N = 1}^{\infty} {(\frac{- ich}{ℏ})}^{N} \int_{0}^{T} D T_{1} \int_{0}^{T_{1}} D T_{2} \dots \int_{0}^{T_{N - 1}} D T_{N} H (T_{1}) H (T_{2}) \dots H (T_{N})

$U(t,0)=1+\sum_{n=1}^{∞}\left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n\int_0^t dt_1 \int_0^{t_1} dt_2 \dots \int_0^{t_{n-1}}dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)$

3. Der Lösungsversuch

Ich weiß also, dass für das Interaktionsbild die Transformation des Operators $\hat{V}_I$ Ist..

{\hat{v}}_{ICH} = e^{\frac{ich}{ℏ} {\hat{H}}_{0} T} \hat{v} e^{\frac{- ich}{ℏ} {\hat{H}}_{0} T}

$\hat{V}_I=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} \hat{V} e^{\frac{-i}{\hbar}\hat{H}_0 t}$

Ich weiß auch, dass sich sowohl Operatoren als auch Kets mit der Zeit entwickeln. Also verwende ich die Bewegungsgleichung des Wechselwirkungsbildes auf die Leiteroperatoren, damit ich einen Ausdruck für sie als Funktion der Zeit erhalten kann.

\frac{D \hat{A}}{D T} = \frac{1}{ich ℏ} [\hat{A}, ℏ ω ({\hat{A}}^{†} \hat{A} + \frac{1}{2})]

$\frac{d\hat{a}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{a},\hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2} \right) \right]$

\frac{D {\hat{A}}^{†}}{D T} = \frac{1}{ich ℏ} [{\hat{A}}^{†}, ℏ ω ({\hat{A}}^{†} \hat{A} + \frac{1}{2})]

$\frac{d\hat{a}^{\dagger}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}\left[ \hat{a}^{\dagger},\hbar \omega \left( \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2} \right) \right]$

ich hab dann..

\hat{A} (T) = \hat{A} (0) e^{- ich ω T}

$\hat{a}(t)=\hat{a}(0)e^{-i\omega t}$

{\hat{A}}^{†} (T) = {\hat{A}}^{†} (0) e^{ich ω T}

$\hat{a}^{\dagger}(t)=\hat{a}^{\dagger}(0)e^{i\omega t}$

Ich habe diese in den Ausdruck für V eingefügt, um zu erhalten,

\hat{v} = λ [{\hat{A}}^{†} (0) e^{ich (Ω + ω) T} + \hat{A} (0) e^{- ich (Ω + ω) T}]

$\hat{V}=\lambda \left[ \hat{a}^{\dagger}(0)e^{i(\Omega + \omega)t} + \hat{a}(0)e^{-i(\Omega + \omega)t} \right]$

Was also jetzt getan werden muss, ist, dies in das Interaktionsbild umzuwandeln und es dann von oben in Gleichung 1 einzusetzen und zu integrieren. Aber das scheint sehr chaotisch zu sein, und ich habe Zweifel, ob dies der richtige Weg ist, um auch zu wissen, dass sich sowohl Operatoren als auch Kets mit der Zeit entwickeln.

Also verwende ich die Bewegungsgleichung des Wechselwirkungsbildes auf die Leiteroperatoren, damit ich einen Ausdruck für sie als Funktion der Zeit erhalten kann. gehen Sie dieses Problem an. Wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen kann, wäre ich sehr dankbar!

Alice

Können Sie mir sagen, wie Sie die Bewegungsgleichung der Wechselwirkungsbilder für die Leiteroperatoren gelöst und die Leiteroperatoren als Funktion der Zeit erhalten haben?

Benutzer41178

Ich erinnere mich nicht an die Einzelheiten, aber wenn ich mir das jetzt ansehe, würde ich sagen, erweitere den Kommutator in beiden Gleichungen und verwende dann die Kommutatorbeziehung [a+,a]=1, um gemeinsame Terme in beiden Gleichungen zu erhalten. Löse nach einem gemeinsamen Term in einer Gleichung und setze sie in die andere ein. Es sollte sich zu einer einfachen Differentialgleichung mit exponentiellen Lösungen vereinfachen. Tut mir leid, dass ich nicht detaillierter sein kann.

Antworten (1)

Zeitentwicklungsoperator im Interaktionsbild (Harmonischer Oszillator mit zeitabhängiger Störung)

Können Sie mir sagen, wie Sie die Bewegungsgleichung der Wechselwirkungsbilder für die Leiteroperatoren gelöst und die Leiteroperatoren als Funktion der Zeit erhalten haben?
Ich erinnere mich nicht an die Einzelheiten, aber wenn ich mir das jetzt ansehe, würde ich sagen, erweitere den Kommutator in beiden Gleichungen und verwende dann die Kommutatorbeziehung [a+,a]=1, um gemeinsame Terme in beiden Gleichungen zu erhalten. Löse nach einem gemeinsamen Term in einer Gleichung und setze sie in die andere ein. Es sollte sich zu einer einfachen Differentialgleichung mit exponentiellen Lösungen vereinfachen. Tut mir leid, dass ich nicht detaillierter sein kann.

Algebrato · Answer 1

Beginnen wir mit Ihrem EQ1:

$\begin{eqnarray}U_I(t,0) = \mathbf{Id} + \frac{1}{i\hbar}\int_0^t dt_1V_H(t_1) +\cdots+\left(\frac{1}{i\hbar}\right)^k\int_0^tdt_1...\int_0^{t_{k-1} }V_H(t_1)\cdots V_H(t_k) \end{eqnarray}$

Wo $V_H$ bedeutet $V$ von Heisenberg entwickelt. Der Operator ist völlig symmetrisch, sodass wir die integralen Extrema anpassen können, um den bekannten Exponenten der Pfadreihenfolge zu schreiben:

$\begin{eqnarray} U_I(t,0)=\mathbf{Id}+\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k!}\int_0^tdt_1..\int_0^tdt_{k-1}V_H(t_1)...V(t_k) = \text{Texp}\left[\frac{1}{i\hbar}\int_0^tdt'V_H(t')\right] \end{eqnarray}$

Jetzt können Sie die Form des Potentials verwenden, die Sie in der exponentiellen Pfadreihenfolge finden, und mit dem GellMann- und Low-Theorem den Grundzustand Ihres Hamilton-Operators finden.

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Benutzer41178

Alice

Benutzer41178

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Algebrato

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