Was ist die Analogie von |x⟩|x⟩|x\rangle in der Quantenfeldtheorie?

Question

Was ist die Analogie von |x⟩|x⟩|x\rangle in der Quantenfeldtheorie?

Benutzer26143

Lassen Sie mich mit der Pfadintegralformulierung in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie beginnen. Im QM haben wir

\begin{matrix} (1) & U (X_{B}, X_{A}; T) = ⟨ X_{B} | U (T) | X_{A} ⟩ = \int D Q e^{ich S} \end{matrix}

$U(x_b,x_a;T) = \langle x_b | U(T) |x_a \rangle= \int \mathcal{D}q e^{iS} \tag{1}$

| x_{a} ⟩

$|x_a \rangle$ ist ein Eigenzustand des Positionsoperators

\hat{x}

$\hat{x}$ .

In QFT haben wir

\begin{matrix} (2) & U (ϕ_{B}, ϕ_{A}; T) = ⟨ ϕ_{B} | U (T) | ϕ_{A} ⟩ = \int D ϕ e^{ich S} \end{matrix}

$U(\phi_b,\phi_a;T) = \langle \phi_b | U(T) |\phi_a \rangle= \int \mathcal{D}\phi e^{iS} \tag{2}$

| ϕ_{a} ⟩

$| \phi_a \rangle$ ist ein Eigenzustand des Feldoperators

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ .

In Analogie zu QM ist es verlockend, sich darauf zu beziehen

\begin{matrix} (3) & | ϕ ⟩ \leftrightarrow | X ⟩ \end{matrix}

$|\phi \rangle \leftrightarrow |x \rangle \tag{3}$

In Peskin und Schroeders QFT, S. 24, wird jedoch gesagt, dass es sich um eine Berechnung handelt

$\begin{matrix} (2.42) & ⟨ 0 | ϕ (X) | P ⟩ = e^{ich P \cdot X} \end{matrix}$ $\langle 0 | \phi(\mathbf{x}) | \mathbf{p} \rangle = e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \tag{2.42}$ Wir können dies als Ortsraumdarstellung der Ein-Teilchen-Wellenfunktion des Zustands interpretieren $| \mathbf{p} \rangle$ , ebenso wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik $\langle \mathbf{x} | \mathbf{p} \rangle \propto e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ ist die Wellenfunktion des Zustands $|\mathbf{p}\rangle$ .

Basierend auf der zitierten Aussage, scheint

\begin{matrix} (4) & \hat{ϕ} (X) | 0 ⟩ \leftrightarrow | X ⟩ \end{matrix}

$\hat{\phi}(x) | 0 \rangle \leftrightarrow | x \rangle \tag{4}$

Wenn die Beziehungen (3) und (4) beide korrekt sind, hätte ich es tun sollen

\begin{matrix} (5) & \hat{ϕ} (\hat{ϕ} | 0 ⟩) = ϕ (X) (\hat{ϕ} | 0 ⟩) \end{matrix}

$\hat{\phi} ( \hat{\phi} | 0 \rangle ) = \phi(x) ( \hat{\phi}| 0 \rangle ) \tag{5}$ scheint Gl. (5) ist nicht richtig. Zumindest kann ich Gl. (5).

Wie lassen sich die Analogien (3) und (4) in Einklang bringen?

zzz

Es ist nicht klar, was Sie mit eq schreiben wollen. 5, wie definieren Sie

ϕ

$\phi$ ohne Hut?

Benutzer26143

Ich meine

\hat{ϕ} (x_{1}) | ϕ_{1} ⟩ = ϕ_{1} (x_{1}) | ϕ_{1} ⟩

$\hat{\phi}(x_1) | \phi_1 \rangle = \phi_1(x_1) | \phi_1 \rangle$ , ohne Hut ist der Eigenwert des Feldoperators.

zzz

Erwischt. NEIN

\hat{ϕ} | 0 ⟩

$\hat\phi|0\rangle$ kein Eigenvektor von ist

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ . Das sieht man zum Beispiel am Ausschreiben

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ in Bezug auf Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren, dann vergleichen Sie

\hat{ϕ} | 0 ⟩

$\hat\phi|0\rangle$ gegen

{\hat{ϕ}}^{2} | 0 ⟩

$\hat\phi^2 |0\rangle$ , und beachten Sie, dass das eine kein skalares Vielfaches des anderen ist. Wie Sie vermutet haben, ist Gl. 5 stimmt nicht.

Benutzer26143

Danke. So

⟨ 0 | \hat{ϕ} (x) | p ⟩

$\langle 0 | \hat{\phi}(x) | p \rangle$ ist nur eine Analogie von

⟨ x | p ⟩

$\langle x | p \rangle$ . Es impliziert nicht

\hat{ϕ} (x) | 0 ⟩

$\hat{\phi}(x) | 0 \rangle$ ist ein Eigenzustand von

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ Trotzdem.

zzz

Ja, das ist richtig.

Kosmas Zachos

Ihr Problem wird in 312006 angesprochen und gelöst , nachdem das eine Oszillatorproblem gelöst ist, 292899 . Im Wesentlichen müssen Sie den Zustand |x> mit dem Fock-Vakuum |0> verbinden, durchaus machbar, aber keineswegs trivial.

Antworten (2)

Was ist die Analogie von |x⟩|x⟩|x\rangle in der Quantenfeldtheorie?

Es ist nicht klar, was Sie mit eq schreiben wollen. 5, wie definieren Sie $\phi$ ohne Hut?
Ich meine $\hat{\phi}(x_1) | \phi_1 \rangle = \phi_1(x_1) | \phi_1 \rangle$ , ohne Hut ist der Eigenwert des Feldoperators.
Erwischt. NEIN $\hat\phi|0\rangle$ kein Eigenvektor von ist $\hat\phi$ . Das sieht man zum Beispiel am Ausschreiben $\hat\phi$ in Bezug auf Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren, dann vergleichen Sie $\hat\phi|0\rangle$ gegen $\hat\phi^2 |0\rangle$ , und beachten Sie, dass das eine kein skalares Vielfaches des anderen ist. Wie Sie vermutet haben, ist Gl. 5 stimmt nicht.
Danke. So $\langle 0 | \hat{\phi}(x) | p \rangle$ ist nur eine Analogie von $\langle x | p \rangle$ . Es impliziert nicht $\hat{\phi}(x) | 0 \rangle$ ist ein Eigenzustand von $\hat{\phi}(x)$ Trotzdem.
Ihr Problem wird in 312006 angesprochen und gelöst , nachdem das eine Oszillatorproblem gelöst ist, 292899 . Im Wesentlichen müssen Sie den Zustand |x> mit dem Fock-Vakuum |0> verbinden, durchaus machbar, aber keineswegs trivial.

zzz · Answer 1

NEIN $\hat\phi|0\rangle$ kein Eigenvektor von ist $\hat\phi$ . Das sieht man zum Beispiel am Ausschreiben $\hat\phi$ in Bezug auf Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren, dann vergleichen Sie $\hat\phi|0\rangle$ gegen $\hat\phi^2|0\rangle$ , und beachten Sie, dass das eine kein skalares Vielfaches des anderen ist. Wie Sie vermutet haben, ist Gl. 5 stimmt nicht
Um eine Analogie zu erhalten $| x\rangle$ , können Sie einfach eine Fourier-Transformation von nehmen $a^\dagger(p)$ zu bekommen $a^\dagger(x)$ , Und $a^\dagger(x)|0 \rangle \equiv |x \rangle$ ist die beste Analogie von $|x \rangle$ an die ich denken kann

$a^\dagger(x)|0\rangle$ ist nicht analog zu $|x\rangle$ , sondern auf den 1. angeregten Eigenzustand eines Hamiltonoperators (wie $a^\dagger(x)|0\rangle=|1\rangle$ für QHO ). Das QFT-Analogon der Ortseigenzustände $\hat x |x\rangle=x|x\rangle$ sind die Feldeigenzustände $\hat\phi(x)|\phi\rangle=\phi(x)|\phi\rangle$ . Genauso wie $\hat x$ definiert die Wellenfunktion $\Psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$ im QM, $\hat \phi$ definiert das Wellenfunktional $\Psi[\phi]=\langle\phi|\Psi\rangle$ im QFT.

yuggib · Answer 2

Sie können die Konstruktion des verwenden $Q$ Raum, wie in Reed und Simon Bd. 2, Seite 228-230 beschrieben.

Zu stark vereinfachend können Sie die Analogie machen $\lvert \phi\rangle \sim \lvert x\rangle$ , aber das damit verbundene Momentum nicht $\hat{p}$ , Aber $\hat{\pi}$ (der kanonisch konjugierte Impuls des Feldes $\hat{\phi}$ ).

Etwas präziser: Der Fockraum ist isomorph zu an $L^2$ Platz wo $\hat{\phi}$ wirkt als Multiplikation mit der Funktion $x$ (ist eine "Variable" der $L^2$ Platz) und $\hat{\pi}$ als (funktionelles) Derivat $-i\frac{\delta}{\delta x}$ ; und in diesem Zusammenhang können Sie die "Eigenfunktionen" definieren (sie gehören nicht zu den $L^2$ offensichtlich) $\lvert\phi\rangle$ Und $\lvert\pi\rangle$ mit der üblichen Bedeutung als (unendlich dimensionale) Orts- und Impuls-Eigenfunktionen. Die genaue Konstruktion ist in der obigen Referenz detailliert beschrieben.

@Quantumwhisp mmmh, wahrscheinlich nicht genau gleichwertig, da es sich um Antikommutierungsbeziehungen handelt. Ich bin kein Experte, aber ich denke, dass größere Änderungen erforderlich sind, und ich habe so etwas für Fermionen nie gesehen (falls es existiert).

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