Wie entstehen in der algebraischen Formulierung der Quantenmechanik auf natürliche Weise Wahrscheinlichkeitsamplituden?

Sie können sicherlich die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Paares reiner Zustände definieren, die Normalzustände in Bezug auf einen gegebenen algebraischen Zustand sind, und dieses mathematische Objekt hat dieselben Eigenschaften wie in der Standardformulierung.

Wenn Sie einen algebraischen Zustand auf der haben$C^*$-Algebra$A$, das ist positiv ($\phi(a^*a)\geq 0$), normalisiert ($\phi(I)=1$), lineare Funktion$\phi : A \to \mathbb C$, können Sie es in einem Hilbert - Raum mit Hilfe der GNS - Konstruktion darstellen .

Bis auf unitäre Isomorphismen gibt es ein Tripel$(\cal H, \pi, \Psi)$, Wo

(ich)$\cal H$ist ein Hilbertraum,

(ii)$\pi: A \to B(\cal H)$ein fortlaufender)$^*$-Darstellung,

(iii)$\Psi \in \cal H$ein Einheitsvektor

so dass

(A)$\pi(A)\Psi$ist dicht drin$\cal H$

Und

(B)$\phi(a)= \langle \Psi|\pi(a) \Psi\rangle$.

Nehmen wir der Einfachheit halber das an$\phi$rein ist (dh ein extremes Element der konvexen Menge algebraischer Zustände).

Die Vektoren$\Phi \in \cal H$repräsentieren (bis auf eine Normalisierung und eine Phase) andere reine Zustände des Systems, den sogenannten normalen reinen Zustand des Systems im Folium von$\phi$

NB Wenn$\dim(\cal H) = \infty$, gibt es viele andere algebraisch reine Zustände, die nicht als Vektoren in dargestellt werden können$\cal H$.

Diese Zustände sind von der Form$\pi(a)\Psi$($a\neq 0$) oder Begrenzung von Sequenzen$\pi(a_n)\Psi$solcher Vektoren aufgrund von (a) oben. Bleiben wir beim elementarsten Fall eines durch den Vektor definierten normalen reinen Zustands$\pi(a)\Psi$. Algebraisch ist es durch das Funktional definiert$\phi_a(b) = \frac{\langle \pi(a)\Psi | \pi(b) \pi(a) \Psi\rangle}{\langle \pi(a)\Psi | \pi(a) \Psi\rangle}$nämlich Ausnutzen der GNS-Konstruktion (insbesondere (b) oben)

$$A \ni b \mapsto \phi_a(b) = \frac{\omega(a^*ba)}{\omega(a^*a)}\tag{1}\:.$$

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude von$\Phi_1 = \phi(a_1)\Psi$Und$\Phi_2 = \phi(a_2)\Psi$ist wie immer

$$\frac{\langle \Phi_1| \Phi_2 \rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \pi(a_1)\Psi| \pi(a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \Psi| \pi(a_1)^*\pi(a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||}= \frac{\langle \Psi| \pi(a_1^*a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \Psi| \pi(a_1^*a_2)\Psi\rangle}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}} = \frac{\phi(a_1^*a_2)}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}}\:.$$ Das schließen wir aus einem algebraisch reinen Zustand $\phi$und unter Berücksichtigung von zwei normalen reinen Zuständen $\phi_{a_i}$, $a_1,a_2 \in A$definiert durch (1), die Wahrscheinlichkeitsamplitude von $\phi_{a_1}$Und $\phi_{a_2}$ist definiert als $$PA(\phi_{a_1},\phi_{a_2}) := \frac{\phi(a_1^*a_2)}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}}\:.$$