Ist es möglich, einen rein bosonischen Erzeugungsoperator in skalarer QFT zu konstruieren?

Question

Ist es möglich, einen rein bosonischen Erzeugungsoperator in skalarer QFT zu konstruieren?

Physik
Hilbert-Raum
Fourier-Transformation
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie

Sean E. Lake

In einem Klein-Gordon-Feld mit Lagrange-Dichte

L = \frac{1}{2} [{\dot{ϕ}}^{2} - (\nabla ϕ)^{2} - M^{2} ϕ^{2}]

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\dot{\phi}^2 - (\nabla\phi)^2 - m^2\phi^2\right]$ der Hamiltonoperator ist gegeben durch

\begin{aligned} H & = \int D^{D - 1} X \frac{1}{2} [π^{2} (X) + (\nabla ϕ (X))^{2} + M^{2} ϕ^{2} (X)] \\ = \int D^{D - 1} k \frac{1}{2} [{\tilde{π}}_{+}^{2} (k) + (k^{2} + M^{2}) {\tilde{ϕ}}_{+}^{2} (k) + {\tilde{π}}_{-}^{2} (k) + (k^{2} + M^{2}) {\tilde{ϕ}}_{-}^{2} (k)] \end{aligned}

$\begin{align} H &= \int\operatorname{d}^{d-1}x\,\frac{1}{2}\left[\pi^2(\mathbf{x}) + (\nabla \phi(\mathbf{x}))^2 + m^2\phi^2(\mathbf{x})\right]\\ & = \int\operatorname{d}^{d-1}k\, \frac{1}{2}\left[\tilde{\pi}_+^2(\mathbf{k}) + (k^2+m^2)\tilde{\phi}_+^2(\mathbf{k}) + \tilde{\pi}_-^2(\mathbf{k}) + (k^2+m^2)\tilde{\phi}_-^2(\mathbf{k})\right] \end{align}$ Wo

{\tilde{f}}_{+} (k) \equiv \int \frac{d^{d - 1} k}{(2 π)^{(d - 1) / 2}} \cos (k \cdot x) f (x)

$\tilde{f}_{+}(\mathbf{k}) \equiv \int \frac{\operatorname{d}^{d-1}k}{(2\pi)^{(d-1)/2}} \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})\, f(\mathbf{x})$ ist die Kosinustransformation von

f

$f$ (der reelle Teil der Fourier-Transformation, symmetrisch unter Parität) und

{\tilde{f}}_{-} (k)

$\tilde{f}_{-}(\mathbf{k})$ ist die Sinustransformation (der Imaginärteil der Fourier-Transformation, antisymmetrisch unter Parität). Die kanonischen (zeitgleichen) Kommutierungsrelationen sind dann gegeben durch:

\begin{aligned} [{\tilde{ϕ}}_{P} (k), {\tilde{ϕ}}_{P^{'}} (k^{'})] & = 0, \\ [{\tilde{π}}_{P} (k), {\tilde{π}}_{P^{'}} (k^{'})] & = 0, A N D \\ [{\tilde{ϕ}}_{P} (k), {\tilde{π}}_{P^{'}} (k^{'})] & = ich δ_{P P^{'}} δ^{D - 1} (k - k^{'}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left[\tilde{\phi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\phi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = 0, \\ \left[\tilde{\pi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\pi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = 0,\ \mathrm{and} \\ \left[\tilde{\phi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\pi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = i\delta_{pp'}\,\delta^{d-1}\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right). \end{align}$ Wenn wir die Leiteroperatoren auf die übliche Weise definieren,

A_{P} (k) = {\tilde{ϕ}}_{P} (k) \frac{\sqrt[4]{k^{2} + M^{2}}}{\sqrt{2}} + ich {\tilde{π}}_{P} (k) \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{k^{2} + M^{2}}},

$a_p(\mathbf{k}) = \tilde{\phi}_p(\mathbf{k})\frac{\sqrt[4]{k^2+m^2}}{\sqrt{2}} + i\tilde{\pi}_p(\mathbf{k}) \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt[4]{k^2+m^2}},$ Die Beziehungen werden

\begin{aligned} H - H_{0} & = \sum_{P \in {+, -}} \int D^{D - 1} k \sqrt{k^{2} + M^{2}} A_{P}^{†} (k) A_{P} (k) \\ [A_{P} (k), A_{P^{'}}^{†} (k^{'})] & = δ_{P P^{'}} δ^{D - 1} (k - k^{'}) \\ {\tilde{ϕ}}_{P} (k) & = \frac{A_{P} (k) + A_{P}^{†} (k)}{\sqrt{2} \sqrt[4]{k^{2} + M^{2}}} \\ {\tilde{π}}_{P} (k) & = \frac{A_{P} (k) - A_{P}^{†} (k)}{\sqrt{2}} \sqrt[4]{k^{2} + M^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} H-H_0 & = \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k\,\sqrt{k^2+m^2}\, a_p^\dagger(\mathbf{k})\, a_p(\mathbf{k}) \\ \left[a_p(\mathbf{k}),\, a_{p'}^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\right] & = \delta_{pp'}\,\delta^{d-1}\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right) \\ \tilde{\phi}_p(\mathbf{k}) & = \frac{a_p(\mathbf{k}) + a_p^\dagger(\mathbf{k})}{\sqrt{2}\,\sqrt[4]{k^2+m^2}} \\ \tilde{\pi}_p(\mathbf{k}) & = \frac{a_p(\mathbf{k}) - a_{p}^\dagger(\mathbf{k})}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{k^2+m^2}, \end{align}$ Wo

H_{0}

$H_0$ enthält die divergente Nullpunktsenergie.

Die Form von $H$ führt unmittelbar zum Gesamtteilchenzahloperator

N \equiv \sum_{P \in {+, -}} \int D^{D - 1} k A_{P}^{†} (k) A_{P} (k) .

$N \equiv \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k \, a_p^\dagger(\mathbf{k})\,a_p(\mathbf{k}).$

In diesem Formalismus $a_p^\dagger(\mathbf{k})$ heißt Erzeugungsoperator, weil für einen Eigenzustand von $N$ es erhöht die Anzahl der Teilchen mit der Parität $p$ und Schwung $\mathbf{k}$ von $1$ , Und $a_p(\mathbf{k})$ die Vernichtung aus ähnlichen Gründen. Das ist natürlich nicht alles, was sie tun. Wenn sie auf Teilchenzahldichte-Eigenzustände einwirken, verderben sie die Normalisierung. Wenn der Zustand jedoch kein Zahlendichte-Eigenzustand ist, ändert er den Zustand vollständig, da die Skala für Zustände mit unterschiedlicher Teilchenzahl unterschiedlich ist.

Im Fall von $d=1$ , dem einfachen harmonischen Oszillator, ist es einfach, einen Erzeugungsoperator zu konstruieren, der die Normalisierung in jedem Zustand beibehält. Zwei Alternativen sind:

\begin{aligned} A_{P}^{†} (k) & = \frac{1}{\sqrt{N_{P}}} A_{P}^{†}, Ö R \\ A_{P}^{†} (k) & = A_{P}^{†} \frac{1}{\sqrt{N_{P} + 1}} . \end{aligned}

$\begin{align} A_p^\dagger(\mathbf{k}) & = \frac{1}{\sqrt{N_p}} a_p^\dagger,\ \mathrm{or} \\ A_p^\dagger(\mathbf{k}) & = a_p^\dagger \frac{1}{\sqrt{N_p+1}}. \end{align}$ Wie verallgemeinere ich die Idee eines "reinen" Erzeugungsoperators auf eine kontinuierliche Quantenfeldtheorie? Im Idealfall würde es so etwas wie befriedigen

\begin{aligned} | F, ψ ⟩ & = \sum_{P \in {+, -}} \int D^{D - 1} k {\tilde{F}}_{P} (k) A_{P}^{†} (k) | ψ ⟩ \\ ⟨ F, ψ | F, ψ ⟩ & = 1 \end{aligned}

$\begin{align} |f,\psi\rangle & = \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k\, \tilde{f}_p(\mathbf{k})\, A_p^\dagger(\mathbf{k})\,|\psi\rangle\\ \langle f,\psi|f,\psi\rangle & = 1 \end{align}$ so lange wie

\sum_{P \in {+, -}} \int D^{D - 1} k {\tilde{F}}_{P}^{2} (k) = 1,

$\sum_{p\in \{+,-\}} \int \operatorname{d}^{d-1}k\ \tilde{f}_p^2(\mathbf{k}) = 1,$ so dass es verwendet werden könnte, um beliebige Ensembles von Mehrteilchenzuständen auf einfache Weise zu konstruieren.

Sean E. Lake

Der Grund für die Verwendung von Sin/Cosinus-Transformationen anstelle von Fourier: Auf diese Weise sind die Modus-Raum-Feldoperatoren hermitesch. Die Verwendung der regulären Fourier-Transformation hätte Operatoren ergeben, die erfüllt werden müssen

{\tilde{ϕ}}^{†} (k) = \tilde{ϕ} (- k)

$\tilde{\phi}^\dagger (\mathbf{k}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{k})$ , was nicht so offensichtlich hermitesch ist.

Antworten (1)

Ist es möglich, einen rein bosonischen Erzeugungsoperator in skalarer QFT zu konstruieren?

Der Grund für die Verwendung von Sin/Cosinus-Transformationen anstelle von Fourier: Auf diese Weise sind die Modus-Raum-Feldoperatoren hermitesch. Die Verwendung der regulären Fourier-Transformation hätte Operatoren ergeben, die erfüllt werden müssen $\tilde{\phi}^\dagger (\mathbf{k}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{k})$ , was nicht so offensichtlich hermitesch ist.

Sean E. Lake · Answer 1

Seitdem arbeite ich daran, und die Antwort, die ich gefunden habe, ist ein eingeschränktes Nein. Die Einschränkung besteht darin, dass Sie einen Operator konstruieren können, der die Partikelzahl erhöht und die Normalisierung beibehält, diese Eigenschaft jedoch nicht beibehält, wenn er überlagert wird. Eine Ausnahme ist, wenn der Zustand, auf dem operiert wird, ein Eigenzustand des Teilchenzahloperators ist.

Die Begründung ist folgende. Wir konstruieren eine QFT als unendlich viele $d=1$ einfache harmonische Oszillatoren basierend auf einem Impulsraumgitter $\mathbf{k}_i$ . Anstatt Sinus- und Kosinustransformationen zu verwenden und nach Parität zu trennen, ist es einfacher, eine multidimensionale Hartley-Transformation zu verwenden

\tilde{ϕ} (k) \equiv \int \frac{D^{D - 1} X}{(2 π)^{(D - 1) / 2}} ϕ (X) \sqrt{2} \cos (k \cdot X - \frac{π}{4}),

$\tilde{\phi}(\mathbf{k}) \equiv \int \frac{\mathrm{d}^{d-1}x}{(2\pi)^{(d-1)/2}} \phi(\mathbf{x})\,\sqrt{2}\cos\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\frac{\pi}{4}\right),$ was im Grunde gesagt ist

\tilde{ϕ} \equiv {\tilde{ϕ}}_{+} + {\tilde{ϕ}}_{-}

$\tilde{\phi}\equiv\tilde{\phi}_++\tilde{\phi}_-$ .

Auf diesem Gitter wird der Hamiltonian

H = \sum_{ich} \sqrt{M^{2} + k_{ich}^{2}} A_{ich}^{†} A_{ich} .

$H = \sum_i \sqrt{m^2+k_i^2}\, a^\dagger_i\,a_i .$ An jedem Standort können wir einen reinen Erstellungsoperator als definieren

A_{ich}^{†} \equiv \sqrt{{[A_{ich}^{†} A_{ich}]}^{+}} A_{ich}^{†}

$A_i^\dagger \equiv \sqrt{\left[a_i^\dagger a_i\right]^+}\,a_i^\dagger$ Wo

{[a_{i}^{†} a_{i}]}^{+}

$\left[a_i^\dagger a_i\right]^+$ ist die Moore-Penrose-Pseudoinverse von

[a_{i}^{†} a_{i}]

$\left[a_i^\dagger a_i\right]$ (Invertieren Sie im Grunde die Nicht-Null-Eigenwerte). Diese Operatoren haben die Eigenschaften

\begin{aligned} A_{ich} A_{J}^{†} & = δ_{ich J} + (1 - δ_{ich J}) A_{J}^{†} A_{ich} \\ A_{ich}^{†} A_{J} & = δ_{ich J} Π_{\bar{0}, ich} + (1 - δ_{ich J}) A_{J} A_{ich}^{†}, \end{aligned}

$\begin{align} A_iA_j^\dagger &= \delta_{ij}+(1-\delta_{ij}) A_j^\dagger A_i \\ A_i^\dagger A_j &= \delta_{ij} \Pi_{\bar{0},i} + (1-\delta_{ij})A_jA_i^\dagger, \end{align}$ Wo

Π_{\bar{0}, i}

$\Pi_{\bar{0},i}$ ist der Projektionsoperator auf das Komplement des Grundzustands der

i^{t h}

$i^{\mathrm{th}}$ Grundstück.

Um zur Kontinuumsfeldgrenze überzugehen, nehmen wir die Substitutionen vor $a_i\rightarrow a(\mathbf{k})\sqrt{\mathrm{d}^3k}$ Und $A_i\rightarrow A(\mathbf{k})\sqrt{\mathrm{d}^3k}$ , was gibt

\begin{aligned} A (k) A^{†} (k^{'}) & = δ (k - k^{'}) + 1_{k \neq k^{'}} A^{†} (k^{'}) A (k) \\ A^{†} (k) A (k^{'}) & = δ (k - k^{'}) Π_{\bar{0}} (k) + 1_{k \neq k^{'}} A (k^{'}) A^{†} (k) \end{aligned}

$\begin{align} A(\mathbf{k})\,A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right) &= \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right)+1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k}) \\ A^\dagger(\mathbf{k})\, A\left(\mathbf{k}'\right) &= \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right) \Pi_{\bar{0}}(\mathbf{k}) + 1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A\left(\mathbf{k}'\right)\, A^\dagger(\mathbf{k}) \end{align}$

Die obigen Identitäten reichen aus, um zu zeigen, dass if

\begin{aligned} | F, ψ ⟩ & \equiv \int D^{D - 1} k \tilde{F} (k) A^{†} (k) | ψ ⟩, T H e N \\ ⟨ F, ψ | F, ψ ⟩ & = \int D^{D - 1} k D^{D - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | A (k) A^{†} (k^{'}) | ψ ⟩ \\ = \int D^{D - 1} k D^{D - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | δ (k - k^{'}) + 1_{k \neq k^{'}} A^{†} (k^{'}) A (k) | ψ ⟩ \\ (1) & = \int D^{D - 1} k F^{*} (k) F (k) + \int_{k \neq k^{'}} D^{D - 1} k D^{D - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | A^{†} (k^{'}) A (k) | ψ ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} |f,\psi\rangle &\equiv \int \mathrm{d}^{d-1}k\, \tilde{f}(\mathbf{k})\, A^\dagger(\mathbf{k})\,|\psi\rangle,\ \mathrm{then} \\ \langle f,\psi|f,\psi\rangle & =\int \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi|A(\mathbf{k})\,A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)|\psi\rangle \\ &= \int \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi|\delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right)+1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k})|\psi\rangle \\ &= \int \mathrm{d}^{d-1}k\, f^*(\mathbf{k})\,f(\mathbf{k}) + \int_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi| A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k})|\psi\rangle. \tag1 \end{align}$ Die notwendigen Bedingungen für den Erzeugungsoperator, der die Normalisierung aufrechterhält, sind, dass der zweite Term in (1) verschwindet und der erste Term ist

1

$1$ . Zu den Möglichkeiten, wie der zweite Term in (1) verschwindet, gehören:

$|\psi\rangle$ ein Eigenzustand des Gesamtteilchenzahloperators ist,
$f(\mathbf{k})$ Konzentration auf einen einzigen Wert von $\mathbf{k}$ , Und
die Unterstützung von $f^*(\mathbf{k})\,f\left(\mathbf{k}'\right)$ nicht überlappend mit der Unterstützung von $\langle\psi|A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\,A(\mathbf{k})|\psi\rangle$ für $\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'$ .

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Sean E. Lake

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