Grundlegendes Verständnis des Fock-Raums eines quantisierten reellen Skalarfelds

Die Zustände in der Quantenmechanik gehören zu einem Hilbert-Raum, während die Zustände in der Quantenfeldtheorie zu einem Fock-Raum gehören. Lassen Sie mich der Einfachheit halber beim Fock-Raum bleiben, der nach der Quantisierung eines reellen Skalarfeldes entsteht.

Ein Fockraum ist als direkte Summe definiert,

F = ⊕ N H N
von Hilberträumen H N , körperlich N -Teilchenzustände.

Für ein echtes Skalarfeld, das nach der Quantisierung (die zu nur einer Teilchensorte führt) die Zustände in H N , sind im Allgemeinen Linearkombinationen von N -Teilchenzustände { | P 1 , P 2 , . . . , P N ⟩ } von allen möglichen Momenten befriedigend P μ ich P μ ich = M 2 , Und P ich 0 > 0 .

Fragen

Was ist die physikalische Interpretation des Fock-Raums als direkte Summe von? H N ?

Es sieht so aus, als hätte der Fock-Raum unveränderliche Unterräume von Labels N Wo N ∈ Z . Bedeutet dies, dass unter der Poincare-Transformation die N -Teilchenzustände, für eine gegebene N , stellen eine irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe dar, dh unter einer Poincare-Transformation die darin enthaltenen Zustände H N , für ein gegebenes N , untereinander mischen.

Wenn die obige Interpretation richtig ist, trifft es auch zu, dass die Zustände in verschiedenen irreduziblen Darstellungen, z N ≠ M , werden durch unterschiedliche Massenwerte gekennzeichnet?

Bedeutet dies auch, dass die Überlagerung von Zuständen, die zu zwei verschiedenen irreduziblen Darstellungen gehören (z. B. die Überlagerung eines Ein-Teilchen-Zustands mit einem Zwei-Teilchen-Zustand) in der Natur verboten ist?

Die genannten Darstellungen sind nur invariant, aber reduzierbar. Die Struktur des Fock-Raums ist die mathematische Darstellung der Tatsache, dass Zustände mit bestimmter und endlicher (aber beliebiger) Anzahl von Teilchen möglich sind. Ein unendliches Tensorprodukt würde, abgesehen von mathematischen Problemen bei seiner Definition, diese Art von Zuständen nicht zulassen.

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Fragen

Was ist die physikalische Interpretation des Fock-Raums als direkte Summe von? H N ?

Ich weiß nicht, was Sie hier suchen. Dies ist die Definition eines Fock-Raums.

Es sieht so aus, als hätte der Fock-Raum unveränderliche Unterräume von Dimensionen N Wo N ∈ Z . Bedeutet dies, dass unter der Poincare-Transformation die N -Teilchenzustände, für eine gegebene N , stellen eine irreduzible Darstellung der Poincare-Gruppe dar, dh unter einer Poincare-Transformation die darin enthaltenen Zustände H N , für ein gegebenes N , untereinander mischen.

Ja, in einer freien (Gaußschen) Theorie gibt es einen Zahlenoperator N = ∑ k A k † A k was Ihnen die genaue Anzahl der Teilchen in einem Zustand sagen kann.

Wenn die obige Interpretation richtig ist, trifft es auch zu, dass die Zustände in verschiedenen irreduziblen Darstellungen, z N ≠ M , werden durch unterschiedliche Massenwerte gekennzeichnet?

Es hängt davon ab, was man die Masse eines Staates nennt. So könnte man es definieren ∑ ich P ich 2 = N M 2 . Diese Masse wird vom Bediener gemessen P 1 2 ⊗ P 2 2 ⊗ ⋯ ⊗ P N 2 Wo P ich 2 ist der Operator zum Quadrat des Impulses, der auf die wirkt ich ter Unterraum in H N . Diese "Masse" ist natürlich unterschiedlich z N 1 ≠ N 2 .

Eine bessere Definition ist die unveränderliche Masse des Zustands, P 2 = ( ∑ P ich ) 2 . Die invariante Masse kann sogar für gleich sein N 1 ≠ N 2 .

Bedeutet dies auch, dass die Überlagerung von Zuständen, die zu zwei verschiedenen irreduziblen Darstellungen gehören (z. B. die Überlagerung eines Ein-Teilchen-Zustands mit einem Zwei-Teilchen-Zustand) in der Natur verboten ist?

Nein, ich sehe nicht ein, warum es in der Natur verboten sein sollte. Diese hätten einfach nicht die übliche klassische Interpretation eines Haufens nicht wechselwirkender sich bewegender Teilchen, sind aber im Allgemeinen ein vollkommen guter Zustand in der Quantentheorie.

Die genannten Darstellungen sind nicht irreduzibel, wenn N > 1 , aus diesem Grund gibt es für jede solche Darstellung keine bestimmte Masse, da es sich um einen Casimir-Operator handeln würde, der einen konstanten Wert erreicht. Ebenso gibt es aus dem gleichen Grund keinen definitiven Spinwert, sondern ein Spektrum möglicher Werte. Jeder besagte Unterraum ist nur invariant, aber nicht irreduzibel.
@ValterMoretti - Das ist definitiv wahr (offensichtlich wahr, da für N = 2 die Darstellung zerfällt als H 1 ⊗ H 1 . Ich glaube, mein Gehirn hat das Wort "irreduzibel" überall in der Frage einfach übersprungen.
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