Man kann die Poincare-Gruppe als die Gruppe von Isometrien des Minkowski-Raums definieren. Ist seine Lie-Algebra entweder durch die Gleichungen 2.4.12 bis 2.4.14 (wie auch auf dieser Seite angegeben - https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_group ) oder die Gleichungen 2.4.18 bis 2.4 gegeben. 24 von Weinbergs Band 1 seiner QFT-Bücher?
Was mich verwirrt, ist das Ableiten der Kommutierungsbeziehungen zwischen und Er verwendete quantentheoretische Argumente über den Hilbert-Raumoperator aber ich denke, an der Lie-Algebra, die er in den oben erwähnten Gleichungen herleitet, ist nichts Quantenhaftes. Ist das richtig?
Diese Quantenverwirrung wird steiler, wenn man sich das anschaut (..relativistischer Boost entlang der Raumrichtung..), (..linearer Impuls entlang der räumliche Richtung..) Kommutator ungleich Null ist. Begründet wird dies damit, dass die exponentielle Wirkung der Boosts und der Translationen auf die Hilbert-Raumzustände nicht kommutieren und dies hier reflektiert wird. (..sie nehmen eine zusätzliche Phase auf, die proportional zur Masse und zum Skalarprodukt der Schubgeschwindigkeit und des Verschiebungsvektors ist..)
Aber wenn die oben genannten Gleichungen wirklich die Lie-Algebra der Isometriegruppe der Minkowski-Raumzeit sind, sollten sie dann in der Galileischen Grenze nicht stattdessen die Tatsache widerspiegeln, dass Galileische Boosts und Translationen beim Einwirken auf die Raumzeitkoordinaten tatsächlich pendeln? Aber die und Die Kommutierung ist weiterhin ungleich Null, selbst wenn die Galileische Grenze auf Seite 62 genommen wird.
Das macht mich stark verdächtig, dass die Gleichungen 2.4.12 bis 2.4.14 nicht die Lie-Algebra der Isometriegruppe der Minkowski-Raumzeit sind, sondern die Lie-Algebra der Gruppe, deren Elemente sind (..unter Verwendung von Weinbergs Notation..) … richtig?
Wird also die Grenze der „niedrigen Geschwindigkeit“ auf Seite 62 genommen, um die nicht-relativistische Quantentheorie wiederherzustellen? (und nicht Newtonsche Physik)
Auf Seite 89 desselben Buches leitet er die Topologie der inhomogenen Lorentz-Gruppe als Wesen ab . Da dies eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist, denke ich, dass er mit dem Begriff „inhomogene Lorentz-Gruppe“ nur die eigentliche orthochrone Komponente der vollständigen relativistischen Symmetriegruppe meint, richtig?
Ich kann nicht sehen, wie die obige Topologie mit der semidirekten Produktstruktur für möglicherweise dasselbe übereinstimmt, wie auf dieser Wikipedia-Seite angegeben - http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_group ?
Wenn Leute von der Poincare-Gruppe sprechen, ist die vollständige Symmetriegruppe der Relativitätstheorie gemeint, oder handelt es sich nur um ihre eigentliche orthochrone Komponente (und nicht um die anderen 3 Komponenten)?
Vor diesem Hintergrund ist mir nicht klar, was gemeint ist, wenn man sagt, man könne der galiläischen Gruppe als zentrale Ladung die "Masse" hinzufügen... einen Extra-Generator, der mit allen anderen damit kommutiert "zentrale Erweiterung" Die freien Teilchen werden eher in den einheitlichen Darstellungen der galiläischen Gruppe als in den projektiven Darstellungen vor der Erweiterung liegen.
Ich wäre dankbar, wenn jemand Licht in dieses Thema bringen und helfen könnte, die beiden "unterschiedlichen" Begriffe der zentralen Ladung in Einklang zu bringen.
(... Ich denke, das wird von meiner ersten Frage abhängen, ob das, was Weinberg in den zitierten Gleichungen als Poincare-Algebra bezeichnet, einen Quanteneffekt enthält (wie es scheint!) oder ob es nur die Lie-Algebra der ist Isometriegruppe der Minkowski-Raumzeit...)
Es ist wichtig, zwischen drei Gruppenaktionen zu unterscheiden, die "Galilean" genannt werden:
-Die galiläische Transformationsgruppe des euklidischen Raums (als Automorphismengruppe).
-Die Galileische Transformationsgruppe des klassischen Phasenraums (deren Lie-Algebra eine Lie-Subalgebra der Poisson-Algebra des Phasenraums darstellt). Dies ist die klassische Aktion.
-Die Galileischen Transformationen der Wellenfunktionen (die unendlichdimensionale irreduzible Darstellungen sind). Das ist die Quantenwirkung.
Nur die erste Gruppenaktion ist frei von der zentralen Erweiterung. Sowohl klassische als auch Quantenaktionen umfassen die zentrale Erweiterung (die manchmal als Bargmann-Gruppe bezeichnet wird). Die zentrale Erweiterung ist also nicht rein quantenmechanisch, allerdings beschreiben die meisten Lehrbücher die zentrale Erweiterung für den Quantenfall. Ich erkläre zuerst den Quantenfall, dann kehre ich zum klassischen Fall zurück und vergleiche die beiden Fälle mit der Poincare-Gruppe.
In der Quantenmechanik ist eine Wellenfunktion im Allgemeinen keine Funktion auf der Konfigurationsmannigfaltigkeit, sondern ein Abschnitt eines komplexen Linienbündels über dem Phasenraum. Im Allgemeinen ist der Auftrieb einer Symmetrie (ein Automorphismus des Phasenraums) ein Automorphismus des Linienbündels, also a Erweiterung des Automorphismus des Grundraums. Im Falle einer einheitlichen Symmetrie ist dies a Verlängerung. Manchmal ist diese Erweiterung trivial, wie im Fall der Poincare-Gruppe. Nun, die zentralen Erweiterungen einer Lie-Gruppe werden nach der Gruppe Kohomologiegruppe klassifiziert . Im Allgemeinen ist es nicht trivial, diese Kohomologiegruppen zu berechnen, aber der Fall der Galileischen und Poincaré-Gruppen kann heuristisch wie folgt verstanden werden:
Die Anwendung der galiläischen Gruppenklage zur nichtrelativistischen Wirkung eines freien Teilchens: , erzeugt eine totale Ableitung, die zu führt : Jetzt seit dem Verbreiter verwandelt sich als und das innere Produkt invariant sein muss, erhalten wir, dass sich die Wellenfunktion transformieren muss als:
Nun kann keine Anwendung einer glatten kanonischen Transformation die totale Ableitung aus dem Transformationsgesetz der Wirkung entfernen, dies ist ein Hinweis darauf, dass die zentrale Erweiterung nicht trivial ist.
Der Fall der Poincare-Gruppe ist trivial. Die relativistische Wirkung freier Teilchen ist unter der Wirkung der Poincare-Gruppe invariant, daher erhält die Transformation der Wellenfunktion keine zusätzlichen Phasen und die Gruppenerweiterung ist trivial.
Klassisch ist der Phasenraum und die Wirkung der Boosts auf die Impulse ist gegeben durch: , also müssen die Generatoren der Boosts die Form haben , dann erhält man die Wirkung leicht unter Verwendung der Poisson-Klammer {q, p} = 1, und die Poisson-Klammer eines Boosts und einer Übersetzung ist nicht trivial {K, p} = m.
Der Grund, warum die Lie-Algebra-Aktion im klassischen Fall die zentrale Erweiterung erhält, besteht darin, dass die Aktion hamiltonsch ist, also durch hamiltonsche Vektorfelder realisiert wird und Vektorfelder im Allgemeinen nicht pendeln.
Die Iwasawa-Zerlegung der Lorentz-Gruppe liefert die Antwort auf Ihre zweite Frage:
wo wird durch den Boost erzeugt und ist die abelsche Gruppe, die von erzeugt wird , . Jetzt beide Untergruppen und sind als Mannigfaltigkeiten zu homöomorph und beziehungsweise.
Zu Ihrer dritten Frage: Der Begrenzungsprozess, der die Galileische Gruppe aus der Poincare-Gruppe hervorbringt, wird als Wingne-Inonu-Kontraktion bezeichnet. Diese Kontraktion erzeugt den nicht-relativistischen Grenzwert. Seine Beziehung zur Quantenmechanik besteht darin, dass es einen Begriff der Kontraktion der einheitlichen Darstellungen von Lie-Gruppen gibt, jedoch keinen trivialen.
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In der klassischen Mechanik werden Observablen als Funktionen im Phasenraum ausgedrückt. siehe zum Beispiel Kapitel 3 von Ballentines Buch für die explizite klassische Realisierung der Generatoren der Galileischen Gruppe.
Dies ist ein Fall, in dem das vollständige geometrische Quantisierungsrezept ausgeführt werden kann. Sehen Sie sich die folgenden zwei Artikel für eine Überprüfung an. (Der vollständige Beweis erscheint auf Seite 95 des zweiten Artikels. Die technischen Berechnungen sind auf den Seiten 8-9 des ersten Artikels besser lesbar).
Die zentralen Erweiterungen erscheinen im Prozess der Vorquantisierung.
Beachten Sie zunächst, dass die Hamiltonschen Vektorfelder entsprechend den Generatoren der Galileischen Lie-Algebra nahe der nicht zentral erweiterten Algebra, (weil das Hamiltonsche Vektorfeld konstanter Funktionen verschwindet).
Allerdings sind die vorquantisierten Operatoren
, ( ein symplektisches Potential ist, dessen äußere Ableitung gleich der symplektischen Form ist) nahe der zentral erweiterten Algebra, weil ihre Wirkung isomorph zur Wirkung der Poisson-Algebra ist.
Die vorquantisierten Operatoren werden als Operatoren über dem Hilbert-Raum der quadratintegrierten polarisierten Abschnitte verwendet und liefern somit eine Quantenrealisierung der zentral erweiterten Lie-Algebra.
In Bezug auf Ihre zweite Frage wirkt die Wingne-Inonu-Kontraktion auf der Ebene der abstrakten Lie-Algebra und nicht für ihre spezifischen Realisierungen. Eine gegebene Realisierung wird als „Quantum“ bezeichnet, wenn sie sich auf eine Realisierung auf einem Hilbert-Raum bezieht (im Gegensatz zur klassischen Realisierung mittels Poisson-Klammern).
Du stellst immer noch viel zu viele Fragen auf einmal. Denken Sie also beim nächsten Mal daran, sie aufzuteilen. Ich werde hier nur den Topologieteil ansprechen.
Als topologische Räume haben wir
Das Hinzufügen von Übersetzungen bedeutet nur die Verwendung des semidirekten Produkts auf der Ebene der Gruppen oder des direkten Produkts auf der Ebene der topologischen Räume. Insgesamt haben wir, dass die zusammenhängende Komponente der Poincaré-Gruppe ist . Was die Wikipedia-Seite betrifft, bin ich mir Ihrer Verwirrung nicht sicher. Es definiert die Poincaré-Gruppe als und topologisch ist dies eine disjunkte Vereinigung von vier Kopien von .
Arun Nanduri
qftme
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