Warum studiert man die Darstellungen der Lorentz-Gruppe anstatt nur die Darstellungen der Poincare-Gruppe?

Es ist weniger wahr, dass wir die Darstellungen der Poincaré- und der Lorentz-Gruppe getrennt studieren, als dass die beiden in einigen Fällen einfach zusammenfallen:

1. In dem Fall, in dem wir an der endlichdimensionalen Darstellung auf dem klassischen Zielraum der Felder interessiert sind, ist der Übersetzungsanteil des halbdirekten Produkts$\mathrm{P}(3,1) = \mathrm{O}(3,1)\ltimes\mathbb{R}^4$wirkt trivial auf die Felder ($A_\mu(x)\mapsto A_\mu(x-a)$) und uns lediglich die Darstellung interessiert$\rho : \mathrm{SO}(3,1)\to\mathrm{GL}(V)$des Lorentz-Teils als$A_\mu(x)\mapsto \rho^\nu_\mu(\Lambda)A_\nu(\Lambda^{-1}x)$. Das heißt, in diesem Fall wird nicht zwischen Darstellungen der Poincaré- und der Lorentz-Gruppe unterschieden.

   Insbesondere bedeutet dies, dass "Invarianz unter der Poincaré-Gruppe" für eine Feldtheorie-Lagrangian keine stärkere Forderung ist als "Invarianz unter der Lorentz-Gruppe".

   Im Wesentlichen sage ich hier, dass, wenn Sie eine Funktion der Raumzeit (ein Feld) haben, das Verhalten bei der Übersetzung bereits durch die natürliche Art und Weise festgelegt ist, wie sich eine solche Funktion bei der Übersetzung transformiert, egal wo sie Werte annimmt – die Übersetzung von a Die vektorwertige Funktion ändert nichts an den Vektorwerten, sie verschiebt sie nur. Eine Lorentz-Transformation dreht jedoch auch die Vektoren an jedem Punkt. Es ist also nicht trivial zu bestimmen, wie genau sich die Vektoren transformieren, aber der Teil der Poincaré-Gruppe, der nur Übersetzungen sind, wirkt auf all diese Funktionen auf die gleiche triviale Weise - er ändert nichts an den Werten, er verschiebt nur den Punkt an dem die Werte genommen werden.

2. Im quantenmechanischen Fall, in dem wir an projektiven Darstellungen interessiert sind, suchen wir einheitliche irreduzible Darstellungen der universellen Hülle$\bar{P}(3,1) = \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\ltimes\mathbb{R}^4$der Identitätskomponente der Poincaré-Gruppe auf den unendlichdimensionalen Zustandsraum , nicht auf den endlichdimensionalen Zielraum von Feldern. Nun, die von Mackey entwickelte Theorie der induzierten Repräsentationen besagt, dass für$G\ltimes H$mit Abelian$H$wir müssen die Umlaufbahnen der natürlichen Wirkung von finden$G$An$H$. Dann ist jede irreduzible Darstellung von$G\ltimes H$wird durch Auswählen einer Umlaufbahn, Auswählen einer einheitlichen irreduziblen Darstellung der Stabilisator-Untergruppe dieser Umlaufbahn und eines einheitlichen Charakters erhalten$\chi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$.

   Wenn man das nun in "Physiksprache" übersetzt, wird man fixiert$\chi = 1$und erkennt an, dass die "Stabilisatoren der Umlaufbahnen" nichts anderes sind als Wigners kleine Gruppen, wie sie in Wigners Klassifikation verwendet werden .

   In diesem Fall wirkt der Übersetzungsteil nicht trivial, da er nicht auf Funktionen der Raumzeit einwirkt, sondern auf abstrakte Quantenzustände, die keine klare "Abhängigkeit" von der Position haben, sodass wir ihre Argumentation nicht einfach wie bei den Feldern verschieben können. Hier ist die entscheidende Forderung, dass die Darstellung der Poincaré-Gruppe unitär/projektiv ist, was zu einem nicht-trivialen Transformationsverhalten unter den Übersetzungen führt.

In der Quantenfeldtheorie herrscht normalerweise große Verwirrung darüber, in welchem ​​der beiden Fälle wir uns in einer bestimmten Situation befinden. Das liegt daran, dass QFT von Natur aus beide Situationen durch das Wightman-Axiom mischt , das die (Lorentz-)Darstellung erfordert$\rho_\text{fin}$auf dem klassischen Zielraum der Felder ist mit der Darstellung kompatibel$\mathrm{U}$auf dem quantenmechanischen Hilbert-Raum von Zuständen, so dass