Vertretung der Lorentz-Gruppe

Es ist genau eines der Wightman-Axiome , dass die unendlichdimensionale einheitliche Darstellung ¹ $U : \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{U}(\mathcal{H})$auf dem Raum der Staaten$\mathcal{H}$der Theorie, nach der das Feld als Operator wirkt, mit dem Feldtransformationsgesetz unter der endlichdimensionalen Darstellung kompatibel ist$\rho_\text{fin}: \mathrm{SO}(1,3)\to\mathrm{GL}(V)$Wo$V$ist der Zielraum des Feldes. Für ein reelles Skalarfeld gilt$V=\mathbb{R}$Und$\rho_\text{fin}$ist die triviale Darstellung. "Kompatibel" bedeutet das

Nun, wenn$\phi$ist dann skalar$\rho_\text{fin}$ist trivial. Dies bedeutet jedoch in keiner Weise, dass$U$ist trivial. Die unendlichdimensionalen einheitlichen Darstellungen der Poincare-Gruppe$\mathrm{SO}(1,3)\ltimes \mathbb{R}^4$sind durch Wigners Klassifikation gegeben , und das skalare Feld erzeugt Teilchen mit Masse und Impuls, daher ist die einheitliche Darstellung nicht trivial – die triviale einheitliche Darstellung ist nur das Vakuum.

^{1 Keine endlichdimensionale Darstellung kann einheitlich sein.}