Ist die Raumzeitsymmetrie eine Eichsymmetrie?

In früheren Fragen von mir hier und hier wurde festgestellt, dass die Spezielle Relativitätstheorie als Spezialfall der Allgemeinen Relativitätstheorie als Theorie einer (glatten) Lorentz-Mannigfaltigkeit betrachtet werden kann$(M,g)$Wo$M$ist global diffeomorph zu (der Standard-Diff.-Struktur von)$\mathbb{R}^4$Und$g$ist ein global flaches metrisches Tensorfeld mit Signatur$(+---)$. Beachten Sie, dass ich die Zeitorientierung hier nicht erwähne, was wahrscheinlich ein schwerwiegender konzeptioneller Fehler meinerseits ist.

Es gibt den Begriff der allgemeinen linearen Gruppe$GL(T_pM)$jedes Tangentialraums, und jeder von diesen hat eine Untergruppe$O_g(T_pM)$jener linearen Karten, die erhalten$G$. Diese Lie-Gruppe ist isomorph zu$O(1,3)$von Matrizen unter Beibehaltung der Minkowski-Metrik. Ebenso erhält man andere$GL(T_pM)$Untergruppen als Analoga von (und isomorph zu) allgemein betrachteten Untergruppen von$O(1,3)$B. seine Connected-Component-Untergruppen. Auf der anderen Seite die Gruppe

$$\text{Isom}(M)=\{\phi:M\to M|\ \phi \text{ is a diffeomorphism and } \phi_*g=g\}$$ von Isometrien von $M$ist isomorph zur Poincaré-Gruppe $\text{P}$als Lie-Gruppe, wie in der zweiten verknüpften Frage oben festgelegt. Es gibt keine kanonischen Wahlmöglichkeiten für die hier erwähnten Isomorphismen von Lie-Gruppen.

Insbesondere Transformationen$g\in\text{Isom}(M)$als Wirkung auf Punkte der Raumzeit$M$kann nicht als durch "lineare Abbildungen und Übersetzungen" erzeugt angesehen werden, da die Hinzufügung von Raumzeitpunkten nicht definiert ist. Tatsächlich möchte ich die Spezielle Relativitätstheorie auf diese ungewöhnliche Weise formulieren, um dies zu erreichen und klar zwischen Transformationen zu unterscheiden, die auf Tangentenvektoren und auf Ereignisse (= Raumzeitpunkte) wirken.

Als nächstes möchte ich die Anwendungen der obigen Transformationen auf verschiedene Dinge und die Bedeutung von "Invarianz, Kovarianz und Forminvarianz" dieser Dinge unter Transformationen betrachten. Dies hängt mit dieser Frage zusammen , deren Antwort ich nicht vollständig verstehe. Ich denke darüber nach, später eine weitere Frage zu dieser Terminologie zu stellen, die innerhalb des obigen geometrischen Rahmens verstanden wird (Sie können gerne kommentieren, ob dies eine gute Idee ist. Die Fragen wurden tausendmal gestellt, aber ich habe die Antworten nie vollständig verstanden). Vorerst dringendere Angelegenheiten:

Betrachten Sie eine Karte$\phi:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}$, die wir uns als Skalarfeld vorstellen. Auswahl von zwei willkürlichen Sätzen globaler Koordinaten$x,y:M\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$wir erhalten Koordinatendarstellungen$\sideset{_x}{}{\phi}:=\phi\circ x^{-1}$Und$\sideset{_y}{}{\phi}:=\phi\circ y^{-1}$. Deutlich$\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{\phi}\circ J$Wo$J:=(y\circ x^{-1}):\mathbb{R}^4\xrightarrow[]{C^{\infty}}\mathbb{R}^4$ist die Koordinatentransformation aus$x$Zu$y$Koordinaten. Betrachten Sie den Spezialfall wo$J$ist konstant und entspricht einer Poincaré-Transformation, da sie auf Tupel von Zahlen wirkt. Offensichtlich gibt es in diesem Fall ein Unikat$S\in\text{Isom}(M)$so dass

$$\sideset{_x}{}{\phi}=\sideset{_y}{}{(\phi\circ S)}:=(\phi\circ S)\circ y^{-1},$$ die gegeben ist durch $S=x^{-1}\circ y$. Was ich versuche zu sagen, ist, dass es einen einzigartigen Weg gibt, ein Feld zu transformieren $\phi$in ein Feld $\phi'=\phi\circ S$, so dass die Koordinatendarstellungen übereinstimmen. Ich denke, das nennt man "aktive und passive" Transformationen. Die Entsprechung zwischen diesen könnte ausgedrückt werden, indem eine Koordinatendarstellung eines Diffeomorphismus definiert wird $\sideset{_y}{}{ S}:=y\circ S\circ y^{-1}$und das merken $\sideset{_y}{}{ S}=J$. (Ich bin etwas überrascht, dass ich nicht irgendwo eine Umkehrung bekomme ...)

Meine erste Frage ist:Gibt es hier einen wichtigen konzeptionellen Unterschied? Wir haben die Symmetriegruppen etabliert, die Vektoren und Raumzeitpunkte transformieren, die a priori keine Koordinatenänderungen sind. Die "Unabhängigkeit" der physikalischen Realität von der Wahl eines Koordinatensystems scheint mir eine Trivialität zu sein und sollte in JEDER physikalischen Theorie, die Koordinaten verwendet, selbstverständlich sein, oder sehe ich das falsch? Die Raum-Zeit-Symmetrien hingegen sind nicht-triviale Annahmen über die Natur von Raum und Zeit und für die Poincaré-Symmetrie charakteristisch für die Relativitätstheorie (richtig?). Hier sollten die Unterschiede der in verschiedenen Theorien betrachteten Transformationsgruppen (Class. Mech=Galilei, SR=Poincaré, GR=(???)Diff) nichts damit zu tun haben, zu faul zu sein, koordinatenunabhängige Integrale und Ableitungen zu definieren, Rechts? Ich hatte den Eindruck, dass all das Gerede über "Lorentz-Tensoren" (dh Objekte, die sich wie Tensoren unter Lorentz-Transformationen, aber nicht unter allgemeineren transformieren) in der speziellen relativistischen Formulierung der klassischen Elektrodynamik hauptsächlich darauf zurückzuführen ist, dass sie zu faul sind, um es zu erklären kovariante Ableitungen?! Dieselben Beweggründe wie die Behauptung, dass "beschleunigte Bewegung nicht durch die spezielle Relativitätstheorie beschrieben / beschreibbar ist" - für mich eine absurde Aussage.

Angenommen, es gibt einen wichtigen grundlegenden Unterschied zwischen Symmetrien der Raumzeit und der Möglichkeit, ein beliebiges Koordinatensystem zur Beschreibung der Physik zu wählen, was ist die Motivation, die entsprechende Transformation eines Skalarfelds zu definieren$\phi'=\phi\circ S^{-1}$Wo$S^{-1}$ist eine Raum-Zeit-Transformation oder Symmetrie? Wie sollte man auch die Aussage interpretieren, dass die Symmetriegruppe der Allgemeinen Relativitätstheorie die vollständige Diffeomorphismusgruppe ist? Insbesondere bin ich mir immer noch nicht sicher, ob es richtig ist, sich einen "Beobachter" als eine Wahl von Koordinaten vorzustellen, die beschreiben, was dieser Beobachter misst. Dies kollidiert mit der Aussage "Alle Beobachter sind gleichwertig" (zu interpretieren als: "Beliebige Koordinaten können verwendet werden, um dieselbe Physik zu beschreiben"), die verwendet wird, um Dinge wie "Alle Beobachter sehen die gleiche Lichtgeschwindigkeit" zu bedeuten. Wenn es einen Äther gäbe, könnte man natürlich immer noch beliebige Koordinaten verwenden.

Kürzlich bin ich darüber gestolpert , wo Terence Tao behauptet (wenn ich es richtig verstanden habe), dass das Fixieren von Koordinaten ein Sonderfall des Fixierens von Messgeräten ist. Frage 2: Bedeutet das, dass die Raumzeitsymmetrie wie die Poincaré-Symmetrie ein Sonderfall der Eichsymmetrie ist? Dies steht im Gegensatz zu (mein Eindruck bzgl.) der Standarddarstellung, wo nur Symmetrien unter Transformationen "innerer" Freiheitsgrade als solche bezeichnet werden. Ich denke, die Fragen sind sehr eng miteinander verbunden. Meine Hoffnung ist sicherlich, dass die Antwort auf Nummer 2 „nein“ ist (während die Behauptung von Tao natürlich wahr ist). Vielen Dank für das Lesen all dies und im Voraus für alle Antworten oder Kommentare.