Inwiefern ist BMS eine Symmetrie? (Was bleibt invariant?)

Gute Frage. Ich studiere gerade dasselbe Thema, also können wir vielleicht darüber diskutieren, um das Thema besser zu verstehen.

Die BMS-Transformationen sind asymptotische Symmetrien; Sie lassen die asymptotische Metrik invariant. Dies ist keine genaue Isometrie, und das damit verbundene Killing-Feld tötet nur asympotisch. Tatsache ist, dass die BMS-Transformation die Grenzbedingung (BC) bei der Null-Unendlichkeit verlässt$I^\pm$unveränderlich.

In der Originalarbeit von Bondi et al. bewiesen ist, dass die Änderung der Masse von einem physikalischen System weit entfernt ist$I^\pm$kann sich nur ändern, wenn die Funktion "Bondi News" ungleich Null ist. In diesem Fall bedeutet dies, dass eine Gravitationswelle entlang einer Nullkurve ausgeht$I^-$mit dem System interagieren und dann ankommen$I^+$bringt einige "Neuigkeiten" mit sich.

Sachs bewies, dass BMS eine konforme Untergruppe hat, die es im Großen und Ganzen regulär machte$S^2$, isomorph zum$SO(3,1)$. Diese Gruppe ist mit gekennzeichnet$L$, gibt es eine weitere Untergruppe, die eine normale Untergruppe von BMS ist, angezeigt durch$N$. Dies ist die Untergruppe der Superlation$N$Und

$$BMS/N \sim L$$

Ashtekar bewies, dass mit Supertranslationen keine konservierte Menge verbunden ist. (Sie verschwinden alle).

Natürlich habe ich das bekommen, also ist es vielleicht falsch oder nicht genau. Ich hoffe, wir können darüber diskutieren.

Sie können auf das Originalpapier zurückblicken, in dem Sachs erstmals die vollständige BMS-Gruppe konstruierte. (Er nannte sie die "verallgemeinerte Bondi-Metzner-Gruppe", aber wir haben seitdem seinen Namen hinzugefügt, um zur "Bondi-Metzner-Sachs-Gruppe" zu gelangen.) Die Idee ist, dass die BMS-Gruppe eine asymptotische Symmetrie der Metrik in asymptotisch ist flache Raumzeit. Sachs zitiert frühere Ergebnisse, die das allgemeine asymptotische Verhalten der Metrik ableiten$g_{ab}$in einer solchen Raumzeit. Vollständige Details sind in der Zeitung enthalten, aber es ist wichtig zu beachten, dass er Koordinaten verwendet$u, r, \theta, \phi$, Wo$u$ist Zeit verzögert und$r, \theta, \phi$sind (im Grunde) die üblichen Kugelkoordinaten. Eine infinitesimale Koordinatentransformation ändert die Metrik um$\delta g_{ab}$. Sachs argumentiert, dass sich diese Änderung entsprechend asymptotisch verhalten muss

$$\begin{align} \tag{1} \delta g_{tt} &= \mathcal{O}(r^{-1}), \\ \tag{2} \delta g_{tr} &= \mathcal{O}(r^{-2}),\\ \tag{3} \delta g_{tA} &= \mathcal{O}(1),\\ \tag{4} \delta g_{rr} &= 0,\\ \tag{5} \delta g_{rA} &= 0,\\ \tag{6} \delta g_{AB} &= \mathcal{O}(r),\\ \tag{7} \delta g_{AB} g^{AB} &= 0,\\ \end{align}$$ Wo $A$Und $B$überreichen kann $\theta$Und $\phi$. Jede glatte infinitesimale Koordinatentransformation wird durch ein Vektorfeld erzeugt $\xi^a$, und wird im Allgemeinen die Metrik entsprechend ändern $$\begin{equation} \delta g_{ab} = -\nabla_a \xi_b - \nabla_b \xi_a. \end{equation}$$ Sachs verwendet diese Ausdrücke, um die Generatoren der BMS-Gruppe explizit zu finden.

Die Antwort auf die Frage lautet also, dass das asymptotische Verhalten der Metrik invariant bleibt, und zwar dadurch, dass sichergestellt wird, dass alle BMS-Transformationen die Metrik nur auf eine Weise ändern, die den Bedingungen (1) bis (7) asymptotisch gehorcht.