Weiter zu dieser Frage : sagt Weinberg
Im Allgemeinen kann es möglich sein, durch Verwendung geeigneter Linearkombinationen der die zu wählen Etiketten so, dass ist blockdiagonal; mit anderen Worten, damit die mit innerhalb eines beliebigen Blocks liefern für sich genommen eine Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe.
Aber warum inhomogene Lorentz-Gruppe, wenn wir zunächst eine homogene Lorentz-Transformation an den Zuständen durchgeführt haben, via ? Ich möchte auch klarstellen, was damit gemeint ist, dass Staaten eine Vertretung „einrichten“.
In Bezug auf die obige Verwirrung zeigt sich das gleiche Szenario erneut während der Diskussion über die kleine Gruppe. Hier ein kleiner Hintergrund: ist ein "Standard" 4-Impuls, so dass wir jeden beliebigen 4-Impuls ausdrücken können als , Wo von einer Lorentz-Transformation abhängig ist . Wir betrachten die Untergruppe der Lorentztransformationen die gehen invariant (kleine Gruppe), und finden Sie Folgendes:
. Dann sagt er:
Die Koeffizienten eine Darstellung der kleinen Gruppe bereitstellen; dh für beliebige Elemente Und , wir bekommen .
So ist es schon im ersten Teil über die Lorentz-Gruppe, Matrizen liefern die Darstellung und nicht ?
Auch für den sehr vereinfachten Fall if völlig diagonal ist, würde ich in einem solchen Fall folgendes richtig sagen, für jeden ?
Nur in diesem Fall ist mir das klar bildet eine Vertretung der Lorentz-Gruppe, da zugeordnet sind .
In der inhomogenen Lorentzgruppe , haben Sie die Raum-Zeit-Übersetzungsgruppe , und die Lorentz-Gruppe .
Sie beginnen, eine Darstellung der Raum-Zeit-Übersetzungsgruppe zu finden, indem Sie einen Impuls wählen . Ihre Darstellung muss also eine haben Index,
Danach müssen Sie die vollständige Darstellung erhalten, indem Sie eine Darstellung der Lorentz-Gruppe finden, die mit dem Momentum kompatibel ist , wird dadurch ein weiterer Index hinzugefügt was der Polarisation entspricht, also haben Sie eine Darstellung,
was die Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe ist.
Was die Bedeutung von Repräsentation betrifft, hier ist eine Definition aus Peter Woits Vorlesungsunterlagen "Quantum Mechanics for Mathematicians" (online verfügbar), Abschnitt 1.3:
Definition (Darstellung). Eine (komplexe) Darstellung ( ) einer Gruppe ist ein Homomorphismus
Wo ist die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen , mit ein komplexer Vektorraum.Das Sagen einer Karte ist ein Homomorphismusmittel
Wenn ist endlichdimensional und wir haben eine Basis von gewählt , dann haben wir eine Identifikation von linearen Abbildungen und MatrizenWo ist die Gruppe der Invertierbaren von komplexe Matrizen.
Die Darstellung ist also der Homomorphismus (die operationerhaltende Abbildung) aus der Gruppe zu den Transformationsmatrizen (Weinbergs C's und D's), aber diese Matrizen benötigen einen Vektorraum (die s), worauf zu handeln ist.
Für den Rest, hier ist meine Antwort (Vorbehalt, ich bin nur ein langsamer Schüler):
Dieser Abschnitt 2.5 trägt den Titel „Ein-Teilchen-Zustände“. Wenn als reduzierbar (blockdiagonalisierbar) erweist, sind die verschiedenen Blöcke voneinander unabhängig (keine Vermischung zwischen Blöcken) und werden als unterschiedliche Teilchenspezies interpretiert. Für einen einzelnen Teilchenzustand wird also ein einzelner irreduzibler Block angenommen.
In diesem Argument ist es in Ordnung, von homogenen zu inhomogenen Transformationen zu verallgemeinern, da sich Übersetzungen nicht mischen 's und haben daher keinen Einfluss auf die Blockstruktur von :
Schließlich, wenn Sie von einer vollständigen Diagonale ausgehen , ich denke, Sie haben ein paar Partikelarten ohne -Mischung überhaupt, also Skalare, jeweils mit einer trivialen kleinen Gruppe ( ).
David z
Vibert
1989189198
Vibert