Ändert sich der Drehimpuls des Spins mit dem Bezugssystem?

Der Spin eines Teilchens wird durch seinen Eigendrehimpuls definiert und ist als solcher im Ruhesystem des Teilchens definiert. Also muss Ihr Spin-4-Vektor im Ruhesystem die Form annehmen

$$S^\mu = (0, \mathbf S)$$ Wo der 3-Vektor$\mathbf S$ist Ihr vertrauter nicht-relativistischer Spin.

Der Vierervektor wird genau so in die Vektordarstellung der Lorentz-Gruppe transformiert, sodass er in einem beliebigen Rahmen Komponenten hat

$$S^\mu = (s, \mathbf S'),$$ wobei wir haben müssen, da die Länge des Vektors unveränderlich ist$-s^2 + \mathbf S^{\prime 2}= \mathbf S^2$. Tatsächlich können wir zeigen, dass die nullte Komponente des Spinvektors proportional zur Helizität des Teilchens ist (eine Invariante):$s = h|\mathbf p|$Wo$\mathbf p$ist der (nicht-invariante) drei Impuls des Teilchens in welchem ​​Rahmen Sie sich befinden, und h ist seine Helizität. Die Helizität ist im Wesentlichen die Projektion des Teilchenspins in Richtung seiner Bewegung - - als solche fällt bei masselosen Teilchen der Spin mit der Helizität zusammen.

Wir können dem Spinvektor nach Pauli-Lubanski eine explizite Form geben, die die oben erwähnten Eigenschaften hat. Lassen Sie (ihre Notation)

$$W^\mu := \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu}{} _{\nu \alpha \beta} P^\nu M^{\alpha \beta }$$ Mit$P^\nu$die Komponenten der vier Impulse und$M^{\alpha \beta }$die (matrixwertigen) Generatoren der Lorentz-Gruppe (für Vektoren ist dies nur der Bahndrehimpuls, aber für die Spin 1/2-Darstellung gibt es ein zusätzliches Stück, das die$\gamma$Matrizen). Beachten Sie, dass im Ruherahmen$P^\nu = (t, \mathbf 0)$und die Antisymmetrie des Levi-Civita-Tensors impliziert dies$W^0=0.$Wir können eine allgemeinere Beziehung als diese erhalten, indem wir das in allen Referenzrahmen beachten$P_\mu W^\mu =0$also ist der Spinvektor kovariant orthogonal zur Teilchengeschwindigkeit.

Tatsächlich ist der Pauli-Lubanski (Pseudo-)Vektor ein Casimir der Poincaré-Gruppe und wird ausgiebig bei der Klassifizierung irreduzibler Darstellungen der Lorentz-Gruppe verwendet.

Schließlich fragte OP nach Orbital- (L) und Spin- (S) Beiträgen - die Lorentz-Generatoren sind aus der Summe eines Orbitalterms und eines Spinterms aufgebaut,

$$M^{\mu \nu} = x^\mu p^\nu - x^\nu p^\mu + S^{\mu \nu}$$ wobei der endgültige Term vom Modell abhängt (für das Dirac-Feld ist es proportional zu$[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$). Die Generatoren transformieren in die Zweitensorrep der Lorentzgruppe, was dafür sorgt, dass sich der Spinvektor in die Fundamentalrep transformiert – also als Vierervektor.