Klassische vs. Quantenverwendung des Spin-4-Vektors

Die Zeitkomponente des Pauli-Lubanski-Vektors ist gleich der Helizität mal der (drei) Impulsgröße:

$w^0 = \lambda ||\mathbf{p}|| =\mathbf{j}.\mathbf{p}$

Wo$\lambda$ist die Helizität,$\mathbf{j}$ist der (Gesamt-) Drehimpuls und$\mathbf{p}$ist die drei Impulse. Bitte lesen Sie den folgenden Artikel von Carineña, Garcia-Bondía, Lizzi, Marmo und Vitale (die zweite Formel von Abschnitt 2). Bitte beachten Sie auch die nächste Formel, in der die Transformation der räumlichen und zeitlichen Komponenten des Pauli-Lubanski-Vektors unter einem allgemeinen Boost geschrieben wird:

$w^0 \rightarrow cosh(\xi)w^0 + sinh(\xi) \mathbf{n}.\mathbf{w}$.

$\mathbf{w } \rightarrow \mathbf{w} - sinh(\xi)w^0 \mathbf{n} + (cosh(\xi)-1) (\mathbf{n}.\mathbf{w}) \mathbf{w}$.

Wo$\mathbf{w}$sind die räumlichen Komponenten des Pauli-Lubanski-Vektors.$\xi$ist die Schnelligkeit,$\mathbf{n}$ist die Schubrichtung

Nun ist es einfach, die Eigenschaften der Zeitkomponente des Pauli-Lubanski durch Inspektion abzuleiten:

1) Für ein spinloses Teilchen ist diese Komponente in allen Bezugssystem identisch Null:

2) Für ein masseloses Teilchen und eine Lorentz-Transformation, die den Impuls erhält. Der Drehimpuls rotiert um den Impulsvektor (Wigner-Rotation), sodass die Helizität erhalten bleibt. Denn für einen lichtähnlichen 4-Impuls muss der Pauli-Lubanski-Vektor proportional zum Impulsvektor sein, daher ändert sich seine Zeitkomponente bei einer impulserhaltenden Lorentz-Transformation nicht.

Aktualisieren

Der Grund ist folgender: Für ein masseloses Teilchen ist der Pauli-Lubanskii-4-Vektor lichtartig. Unter Berücksichtigung, dass dieser immer orthogonal zum Impuls-4-Vektor ist (der in diesem Fall auch lichtartig ist), müssen die beiden Vektoren proportional sein (zwei orthogonale lichtartige Vektoren müssen proportional sein). Der Proportionalitätsfaktor ist einfach das Verhältnis zwischen der Helizität (Zeitkomponente des Pauli-Lubanski-Vektors) und der Energie (Zeitkomponente des 4-Impulses). Dies deutet darauf hin, dass, wenn die kinetische Energie eines Teilchens viel größer als seine Ruhemasse ist, der Pauli-Lubanski- und der Impulsvektor dazu neigen, ausgerichtet zu sein. Um dies expliziter zu sehen, kann man den Ausdruck der Pauli-Lubanski-Raumkomponenten in Bezug auf die Spin- und Impulsvektoren für ein massives Teilchen verwenden:

$\mathbf{w} = m \mathbf{s} + \frac{ \mathbf{p}.\mathbf{s}}{p_0+m}\mathbf{p}$.

Aus dieser Formel ist klar, dass, wenn die Teilchengeschwindigkeit groß wird, der zweite Term dominiert und der 3-Vektor der räumlichen Komponenten von Pauli-Lubanski fast mit dem 3-Vektor der räumlichen Komponenten des Impulses ausgerichtet wird.