Entstehung des Spins aus der speziellen Relativitätstheorie

Historisch (Dirac-Gleichungssache in @Kasis Antwort erwähnt) und phänomenologisch (z. B. skalare Elektrodynamik oder QED? ) Kann man den Zusammenhang zwischen Spin und spezieller Relativitätstheorie erkennen, wobei letztere als "sich schnell bewegendes Zeug" interpretiert wird.

Aber aus mathematisch/logischer Sicht bin ich anderer Meinung.

Zunächst einmal, wenn Sie Ihr Partikel nur mit einem Pfeil im Raum markieren, verstehe ich nicht, warum Sie das brauchen würden$SO(1,3)$statt einfach$SO(3)$.
Als interessante Randnotiz wird die Poincaré-Gruppe angegeben$\mathcal{P} = SO(1,3) \ltimes \mathbb{R}^{1,3}$während die galiläische Gruppe durch gegeben ist$\mathcal{G} = (SO(3)\ltimes \mathbb{R}^3) \times (\mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^3)$. In beiden Fällen finden Sie doppelte Abdeckungen wie z$SO(1,3) \xleftarrow{2:1} SL(2,\mathbb{C})$Und$SO(3) \xleftarrow{2:1} SU(2)$. Das Argument der doppelten Deckung ist der Schlüssel zur Feststellung, dass es nur zwei unterschiedliche Arten geben kann, identische Teilchen in 3D zu permutieren, dh Fermionen und Bosonen. Zu diesem Schluss kann man also auch innerhalb von Galilei-Transformationen kommen. Wenn Sie Fermionen und Bosonen Spins zuweisen würden, würden Sie erkennen, dass Sie es brauchen$SL(2,\mathbb{C})$um Spin-1/2-Teilchen darzustellen.

Abgesehen von diesem Exkurs, denke ich, dass alles auf Kausalität hinausläuft .

Damit Ihre Theorie kausal ist , darf die Wirkung von Operatoren auf Zustände nicht schneller sein als die Lichtgeschwindigkeit. Dies ist besonders wichtig bei räumlich getrennten Veranstaltungen. In diesen Situationen wendet man sich der Symmetriegruppe der Raumzeit zu. Für nicht gekrümmte (flache) Geometrien ist dies die Poincaré-Gruppe (die auch Lorentz-Transformationen umfasst), und wir befinden uns im Bereich der speziellen Relativitätstheorie. Die Darstellungen der Poincaré-Gruppe, also der Dinge, mit denen Sie rechnen müssen, sind eindeutig durch Masse und Spin gekennzeichnet.

Zusammenfassend denke ich also, dass der Spin aus der speziellen Relativitätstheorie hervorgeht, nicht „weil er sich schnell bewegt“, sondern weil letzterer der Rahmen ist, der die Transformationen zwischen verschiedenen Ereignissen (in Raum und Zeit) regelt, was zur Gewährleistung der Kausalität erforderlich ist. Die erzwingbare Kausalität ist der Grund dafür, dass die Quantenmechanik (und ihre relativistischen Korrekturversuche) irgendwann zugunsten der Quantenfeldtheorie fallen gelassen werden muss.

Hängt der Grund dafür, dass die Lorentz-Invarianz den Spin in irgendeiner Weise einführt, mit der Notwendigkeit zusammen, die Kopf- und Schwanzenden eines relativistischen Teilchens zu kennzeichnen und zu verfolgen – und dass Sie dies für sich langsam bewegende Teilchen nicht verfolgen müssen?

Ich denke, das ist eine leicht irreführende Aussage. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird die Wellenfunktion eines Elektrons in der Ortsbasis allgemein eine Funktion sein$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. Hier ist also an jedem Punkt im Raum die Wellenfunktion skalar. Selbst in der nicht-relativistischen Quantenmechanik, wenn wir davon ausgehen, dass die Wellenfunktion kein Skalar und stattdessen ein Vektor ist, dann hat dieses Teilchen einen Spin (in diesem Fall ist der Spin 1). Innerhalb der nichtrelativistischen Quantenmechanik können wir anhand der Kommutierungseigenschaften des Drehimpulses zeigen, dass die Eigenwerte des Spins immer ganzzahlige Vielfache von sind$\frac{1}{2}$. Für Bahndrehimpuls${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$Wir können zeigen, dass die Eigenwerte immer ganze Zahlen sind. Aber${\displaystyle \mathbf {L} }$ist nur der Rotationsgenerator, der zugewiesen wird$\vec{\psi}(x,y,z)$Zu$\vec{\psi}(x',y',z')$aber es dreht sich nicht$\vec{\psi}(x,y,z)$selbst.

Lesen Sie ab Seite 324 in Principles of Quantum Mechanics von Ramamurti Shankar, um den Spin in der nicht-relativistischen Quantenmechanik zu verstehen. Auch die nicht-relativistische Quantenmechanik sagt also viel über den Spin aus.

Die relativistische Quantenmechanik geht einen Schritt weiter und wenn wir davon ausgehen, dass die Gleichung zeitlich linear ist, dann kann die Wellenfunktion kein Skalar sein, sondern ein Spinor (intuitiv sind dies wie Quadratwurzeln von Vektoren). Lorentz-Invarianz impliziert nicht, dass Spin existieren sollte. Zum Beispiel hat die Klein-Gordon-Gleichung Spin-Null (das heißt, die Wellenfunktion ist skalar). Wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik sind auch in der relativistischen Quantenmechanik die Eigenwerte des Drehimpulses immer ganzzahlige Vielfache von$\frac{1}{2}$. Anfänglich wurde angenommen, dass die Klein-Gordon-Gleichung die relativistische Gleichung für Elektronen ist (sowohl die Klein-Gordon- als auch die Dirac-Gleichung reduzieren sich auf die Schrödinger-Gleichung in der nicht-relativistischen Grenze). Aber nach dem Nachweis des Elektronenspins wurde er für die Dirac-Gleichung aufgegeben . Die Dirac-Gleichung sollte die Form haben

$${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$$ damit es befriedigt${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$und zeitlich linear sein. Das lässt sich zeigen$\alpha_i$Und$\beta$sollten mindestens 4-dimensionale Matrizen sein. Wenn wir sie als 4-dimensionale Matrizen betrachten, impliziert dies dies$\psi$ist eine 4-Komponenten-Spaltenmatrix. Die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$ist aber in Raum-Zeit-Koordinaten nicht linear.

Die Pauli-Gleichung ist der nicht-relativistische Grenzwert der Dirac-Gleichung und erklärt den Spin. Wenn keine elektromagnetischen Felder vorhanden sind, reduziert sich dies auf die Schrödinger-Gleichung.

$${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$$

Sie brauchen keine spezielle Relativitätstheorie, um den Spin zu erklären. Die Spineffekte sind am nichtrelativistischen Limit beobachtbar. Sie ist eine Folge der Linearisierung der Quantengleichungen.

Dirac nahm das relativistische Energiespektrum$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$und schrieb eine Wellengleichung, die in räumlichen und zeitlichen Ableitungen linear ist$p\to-i\hbar\nabla$Und$E\to i\hbar\partial_t$. Er fand heraus, dass dies nur mit einer 4-Komponenten-Wellenfunktion (zwei Bispinoren, der zweite stellt Antiteilchen dar) gelöst werden kann.

Sie können dasselbe tun wie Dirac mit dem nicht-relativistischen Spektrum und linearisieren$E=p^2/2m$und finden Sie Lévy-Leblond-Gleichungen, die der Pauli-Gleichung (Schrödinger-Gleichung für Spin 1/2) entsprechen, die eine zweiwertige Spinorwellenfunktion erfordert. Dies geschieht, weil der Spin als einer der Kasimire der Galilei-Algebra erscheint, die nichtrelativistisch ist. Spin ist sicherlich ein Quanteneffekt, aber nicht unbedingt ein relativistischer.