"Verallgemeinerung auf vierdimensionale Lorentz-Transformationen" in Peskin und Schroeder

In Bezug auf Gleichung 3.16 auf Seite 39 von Peskin und Schroeder sind wir gerade dabei, über die zu sprechen S U ( 2 ) Gruppe und ihre Vertretungen. Man sagt, dass wir die Generatoren der Algebra als antisymmetrischen Tensor schreiben können:

J ich J = − ich ( X ich ∇ J − X J ∇ ich ) , ich , J = 1 , 2 , 3 ,
und dass "die Verallgemeinerung auf vierdimensionale Lorentz-Transformationen jetzt ganz natürlich ist" :
(3.16) J μ v = ich ( X μ ∂ v − X v ∂ μ ) , μ , v = 0 , 1 , 2 , 3.
„Wir werden bald sehen, dass diese sechs Operatoren die drei Boosts und drei Rotationen der Lorentz-Gruppe erzeugen.“ Sie fahren dann fort, eine bestimmte zu betrachten 4 × 4 Darstellung durch die Matrizen:
(3.18) ( J μ v ) a β = ich ( δ a μ δ β v − δ β μ δ a v ) .
Dies sind die Generatoren der Lorentz-Gruppe in der Vier-Vektor-Darstellung, aber was sind die Generatoren in Gleichung 3.16? Sind sie in einer bestimmten Darstellung geschrieben? Auf welche Weise "verallgemeinern" sie die Generatoren von S U ( 2 ) darüber geschrieben?

Ich bin eigentlich ziemlich verwirrt von Gleichung 3.16. Wo ist die Metrik? Wie leitet man 3.17 von 3.16 ab?

Antworten (1)

Ich vermute, Sie sind mit der (glücklicherweise) lockeren Sprache der Physiker nicht vertraut. Streng genommen werden Matrizenrealisierungen einer Lie-Algebra und damit Gruppen als Repräsentationen bezeichnet, wie (3.18); aber alles andere, einschließlich (3.16) und seines Vorgängers SU(2), werden einfach Realisationen genannt: vielseitige Abbildungen (in diesem Fall linear), die die Lie-Algebra (3.17) erfüllen.

In diesem Fall sehen Sie, dass (3.16) auf einen 4-Vektor wirkt X β beläuft sich auf die Wirkung der 4×4-Matrix (3.18), also der 4-D-Darstellung. Aber wenn es auf allgemeinere homogene Funktionen der Koordinaten (Tensoren) einwirkt, würde es andere Darstellungen erzeugen.

Die beiden Realisierungen bis hin zu Vorzeichen und Flukey-Nichtkompaktierungsmetriken sollten durch Inspektion in Beziehung gesetzt werden: Sie sind Drehungen in 3-D- bzw. 4-D-Räumen. Mein Bauchgefühl sagt, dass Ihnen die Bücher von Robert Gilmore und Brian Wybourne gefallen würden, die diese Sprache unerbittlich illustrieren.

Ich glaube, ich habe den Unterschied jetzt verstanden. Wenn wir uns "Darstellungen" von sagen wir mal ansehen, S u ( 2 ) in denen die Elemente der Algebra zu Differentialoperatoren werden, die auf einen Raum von Funktionen wirken, sind dies technisch nur "Realisierungen" der Algebra, da sie nicht als Matrizen geschrieben werden können? Ich denke, mein Follow-up dazu wäre, gilt dies für alle unendlich dimensionalen Darstellungen? Da sie nicht als Matrizen geschrieben werden können.
Ja. Viele von ihnen lassen sich jedoch als Matrizen schreiben, wenn die Grenze zum Unendlichen einigermaßen adäquat angegeben werden kann. Beispiele sind die Heisenberg-Algebra, die PB-Algebra und die Algebra der Moyal-Klammer.
Okay toll! Danke, dass du das geklärt hast :)
"Verallgemeinerung auf vierdimensionale Lorentz-Transformationen" in Peskin und Schroeder
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v