Können wir unsere Verwendung von Kreuzprodukten durch die BAC-CAB-Regel ersetzen?

Eine Trendfrage stellt hier eine Frage zu Kreuzprodukten, die mit der Existenz einer Orientierung im 3D-Raum zusammenhängen.

Auf einer gewissen Ebene scheint das, was wir mit Kreuzprodukten zu tun versuchen, den Versuch zu beinhalten, die orthogonale Komponente eines Vektors relativ zu einem anderen zu nehmen.

Ort u ⁡ v = v − u u ⋅ v u ⋅ u ,
Nehmen Sie zB die Komponente einer Kraft, die senkrecht zu einem Verschiebungsvektor vom Zentrum zeigt, und nennen Sie dies das „Drehmoment“ der Kraft. Als ich ein bisschen damit herumspielte, war klar, dass dies eine symmetrischere Form annimmt, wenn es mit multipliziert wird u 2 und schien tatsächlich etwas vorzuschlagen, was tatsächlich eine Formulierung der BAC-CAB-Regel ist,
{ u , v | w } = u ( v ⋅ w ) − v ( u ⋅ w ) ,
wo im 3D-Raum { u , v | w } = w × ( u × v ) . Aber der obige Ausdruck ist zyklisch, multilinear und benötigt keinen Raum, um eine Orientierung zu haben.

In der Tat ansehen { u , v | ∙ } als generisches „Antiprodukt“ haben wir es als [1, 1]-Tensor, also in R 2 ,

{ [ A B ] , [ C D ] |   ∙   } = [ 0 A D − B C B C − A D 0 ]
und in R 3 ,
{ [ A B C ] , [ D e F ] |   ∙   } = [ 0 A e − B D A F − C D B D − A e 0 B F − C e C D − A F C e − B F 0 ] ,
und so weiter, die die Elemente des Kreuzprodukts enthalten u × v , nur nicht in einen Vektor verpackt in R 3 . Ähnlich sieht es aus, als könnte man immer einen nehmen N -dimensionales Vektorfeld und konstruieren ein curl-Feld als [1, 1]-Tensorfeld.

Angesichts dieser Art von Beispielen scheint mir, dass das obige eine Art Isomorphismus zwischen dem äußeren Quadrat darstellt, das das Keilprodukt erzeugt, und den antisymmetrischen [1, 1]-Tensoren des Raums, ohne dass auf irgendeine Art Bezug genommen werden muss Ausrichtung des Raumes selbst. Wo es existiert, sagt die Orientierung eigentlich nur aus, dass dieses Antiprodukt der beiden Vektoren im 3D-Fall selbst als Vektor angesehen werden kann.

Ist dies eine Art bekannter Keim für einen allgemeinen Rahmen zum Ersetzen des Kreuzprodukts bei Rotation und Magnetismus und dergleichen? Wenn ja, gibt es ein Analogon zum „Triple-Wedge-Produkt“? Oder funktioniert dies letztendlich nur in 2D- und 3D-Systemen, weil ihm der vollständige Satz von Indizes für den Orientierungstensor fehlt und dieser Tensor wirklich wesentlich ist, um etwas über Rotation / Magnetismus zu verstehen?

Ihr Bac-Cab-Ausdruck ist genau ( u ∧ v ) ⌞ w , mit den Produkten der geometrischen Algebra .
@mr_e_man Zu verstehen, warum das Sinn macht, ist genau meine Frage hier . Wenn Sie die Möglichkeit haben, einen Blick darauf zu werfen, wäre dies sehr zu schätzen

Antworten (1)

Wir versuchen normalerweise nicht , den orthogonalen Vektor zu nehmen, wenn wir das Kreuzprodukt nehmen. Wir suchen tatsächlich nach der Ebene des Parallelogramms, das durch die beiden Vektoren definiert ist, von denen wir das Kreuzprodukt nehmen, und es passiert einfach so, dass in 3D eine Ebene äquivalent durch die eindeutige Richtung definiert werden kann, die orthogonal dazu ist (das Kreuzprodukt ist ein Vektor in dieser Richtung, dessen Länge die Fläche des Parallelogramms ist, das von den beiden Vektoren an der Stelle aufgespannt wird). Mathematisch erfolgt die dimensionsunabhängige Definition zB des Drehimpulses nicht über ein Kreuzprodukt, sondern als Bivektor, also das äußere Produkt von Ort und Impuls. In 3D ist der Pseudovektor des Drehimpulses, den wir kennen und lieben, das Hodge-Dualdieses Bivektors, siehe auch diese Antwort von mir und diese Antwort von mir .

Ihre "antisymmetrischen [1,1]-Tensoren" sind besondere Möglichkeiten, den zweiten Grad der äußeren Algebra zu schreiben, dh Sie schreiben nur Bivektoren auf nicht standardmäßige Weise. Angesichts des Rahmens der äußeren Algebra ist es auch offensichtlich, dass es "Triple-Wedge-Produkte", dh Elemente dritten Grades der äußeren Algebra gibt, aber in 3D sind diese isomorph zu Skalaren (bis auf Reflexion aufgrund der Eigenschaften von das Hodge-Dual), also sind 3D-Pseudoskalare eine nicht leere Klasse von Beispielen für diese Objekte.

Können wir unsere Verwendung von Kreuzprodukten durch die BAC-CAB-Regel ersetzen?
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