Transformation der Vierergeschwindigkeit in der speziellen Relativitätstheorie

Die Antwort von Timäus könnte richtig sein. Der$\Lambda$Die Matrix aus Ihrem Buch war möglicherweise als passive Transformation gedacht (eine, die auf das Koordinatensystem wirkt), und Sie haben sie fälschlicherweise als aktive Transformation verwendet (eine, die auf das Objekt wirkt). Alternativ die$\Lambda$Die Matrix aus Ihrem Buch war möglicherweise als aktive Transformation eines Co-Vektors gedacht, und meine Antwort unten geht darauf ein.

Da Boosts keine orthogonalen Matrizen sind, müssen Sie über die unterschiedliche Transformation von Co-Vektoren und Kontra-Vektoren nachdenken. Der$\Lambda$Matrix, die Sie aufgeschrieben haben, ist der +v-Boost für einen Co-Vektor. Sie haben es dann auf einen Vektor angewendet und das Ergebnis fälschlicherweise so interpretiert, als wäre es ein Kontravektor. Der Co-Vektor$U_\alpha$mit +v Geschwindigkeit wirklich hat$-v\gamma$darin, wie Sie gefunden haben. Sie müssen den Index von U mit der Metrik erhöhen, um zu sehen, was die Kontravariante ist$U^\beta$ist, und Sie sehen das erwartete +v.

$$U^\beta = \eta^{\beta \alpha}U_\alpha$$ $$\begin{bmatrix}\gamma \\v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\gamma \\-v\gamma \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$$

Ein Kontravektor transformiert sich als

$$Unew^\alpha = \Lambda^\alpha _{-\beta} Uold^\beta$$ Dann transformiert sich ein Co-Vektor wie $$Unew_\alpha = Uold_\beta(\Lambda^{-1})^\beta _{-\alpha}$$

Diese Matrix verstärkt Kontravektoren um +v. Ich habe deine neu definiert$\Lambda$die Matrix zu sein, die einem Kontravektor einen +v-Boost gibt.

$${\Lambda=\begin{bmatrix}\gamma & v\gamma & 0 & 0 \\ v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\begin{bmatrix}\gamma \\v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\gamma & v\gamma & 0 & 0 \\ v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Diese Matrix verstärkt Co-Vektoren um +v.

$${(\Lambda^{-1})^T=\begin{bmatrix}\gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

$$\begin{bmatrix}\gamma \\-v\gamma \\0 \\0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Beachten Sie, dass Rotationen R orthogonal sind, was bedeutet$(R^{-1})^T=R$und die Transformationen für Co-Vektoren und Kontra-Vektoren sind die gleichen. Daher sprechen wir bei Rotationen nicht von Co-Vektoren und Kontra-Vektoren.

Das erste, was mich stört, ist das für positiv${v}$Ich bekomme eine negative Komponente des Geschwindigkeitsvektors

Wenn Ihr Objekt in Ruhe war, bewegt sich das ruhende Objekt für jemanden, der sich nach rechts bewegt, in seinem Rahmen nach links.

Bei der zweiten Frage handelt es sich um das gleiche Problem. Jemand in Ruhe bewegt sich relativ zu jemandem, der sich schneller als 0,6c nach rechts bewegt, nach links.