Physikalische Bedeutung der nullten Komponente von 4-Geschwindigkeit und 4-Kraft

Die nullte Komponente der 4-Geschwindigkeit$u^a=(\gamma ,\gamma \vec v/c)c$ist im Wesentlichen der Zeitdilatationsfaktor$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$(multipliziert mit$c$für Dimensionszwecke). Die Schnelligkeit nutzen$\theta$(der Minkowski-Winkel zwischen zwei zeitähnlichen Vektoren), ist diese nullte Komponente im Wesentlichen$\cosh\theta$.

In der Praxis ist die 4-Geschwindigkeit [in geometrischen Einheiten] ein zeiteinheitlicher Vektor. Auf einem Raum-Zeit-Diagramm gezeichnet, würde die Spitze „einen Tick“ der Uhr dieses Objekts darstellen. Somit wäre die Zeitkomponente der Einheit 4-Geschwindigkeit die scheinbare Dauer des Ticks dieses Objekts, nämlich der Zeitdilatationsfaktor multipliziert mit "einem Tick".

Die nullte Komponente der 4-Kraft ist die relativistische Potenz.

Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall eines Teilchens, das sich mit konstanter Geschwindigkeit und in einer geraden Linie bewegt, und einer Uhr, die sich mit dem Teilchen mitbewegt. Eine Sekunde, wie sie von der Uhr angezeigt wird, ist eine Sekunde, wie sie vom Teilchen wahrgenommen wird, oder wie wir sagen, die Uhr misst die richtige Zeit $\tau$des Teilchens.

Die Raumkomponenten der 4-Geschwindigkeit des Teilchens sind fiskalisch recht einfach zu erfühlen. Da sie definiert sind als

$$\vec{u}=\frac{d\vec{x}}{d\tau},$$ sie stellen genau die Entfernung dar, die das Teilchen (in Ihrem Bezugssystem) in Einheiten seiner Eigenzeit zurückgelegt hat. Wenn sich das Teilchen mit einer 4-Geschwindigkeit bewegt, hat das $|\vec{u}|$=3 m/s , das bedeutet, dass jedes Mal, wenn die Uhr, die sich mit dem Teilchen bewegt, tickt, es drei Meter zurückgelegt hat.

Nun zum schwierigen Teil. Die nullte Komponente ist definiert als

$$u^0 = \frac{dt}{d\tau}.$$ Was es genau darstellt, ist die Geschwindigkeit, mit der sich das Teilchen durch die Zeit Ihres Bezugsrahmens bewegt , das heißt, wie viel "Zeit" es in Einheiten seiner Eigenzeit zurückgelegt hat. Wenn sich das Teilchen mit einer 4-Geschwindigkeit bewegt, hat das $u^0$=6 s/s bedeutet, dass jedes Mal, wenn sich die Uhr mit dem Partikel tickt, das Partikel 6 Sekunden in Ihrem Bezugssystem gereist ist. Sie denken normalerweise darüber, dass die Zeit des Partikels verlängert wird: Eine Sekunde, wie sie vom Partikel gefühlt wird, ist in Ihrem Bezugssystem sechs Sekunden lang.

Da für die Kraft die nullte Komponente des 4-Impulses Energie ist, ist die nullte Komponente der 4-Kraft ($F^\mu=dp^\mu/d\tau$) ist das relativistische Analogon von Macht.

Die nullte Komponente eines 4-Vektors wird oft als seine "zeitähnliche" Komponente bezeichnet, da sie analog zur Zeitachse in ist$(t,x,y,z)$Freizeit. Also physikalisch gesagt, Komponenten wie z$u^0$oder$F^0$sind einfach die gleichen wie ihre räumlichen Cousins, mit einem Unterschied von einem Faktor von$c$($m/s$) für Maßhaltigkeit ($x,y,z$werden in Metern gemessen, wohingegen$t$wird in Sekunden gemessen). Auf einer tieferen Ebene können zeitliche und räumliche Koordinaten aufgrund der Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bezugssystem unverändert bleibt, ähnlich behandelt werden. Damit dies möglich ist, die Länge des Vektors$u^0$muss unter jeder Raumzeittransformation gleich bleiben, was eine Verschiebung der Zeit impliziert, die Zeit variabel macht und ihre Absolutheit verliert.

Für eine visuellere Erklärung empfehle ich die YouTube-Playlist von Henry Reich zur speziellen Relativitätstheorie: https://www.youtube.com/watch?v=ajhFNcUTJI0&list=PL712E709B05086D32

Wenn Sie mehr über die Mathematik der speziellen Relativitätstheorie erfahren möchten, wäre die Lorentz-Transformation ein guter Anfang:

• Lorentz-Transformation: https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
• Ableitung: https://en.wikipedia.org/wiki/Derivations_of_the_Lorentz_transformations

Ich hoffe, das war nützlich!