Den Unterschied zwischen ko- und kontravarianten Vektoren verstehen

Kontravariante Vektoren sind "Standard"-Vektoren. Kovariante Vektoren sind lineare Anwendungen auf kontavariante Vektoren, die Skalare erzeugen.

Beginnen wir mit dem ersten Fall. Wenn Sie ein paar Basen reparieren$\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$Und$\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$im endlichdimensionalen Vektorraum$V$mit Abmessung$n$, so dass$e_i = \sum_j {A^j}_i e'_j$für Satz von Koeffizienten${A^j}_i$Bilden einer (notwendigerweise) nicht-singulären Matrix$A$, haben Sie für einen gegebenen Vektor$v \in V$:

$$v = \sum_i v^i e_i = \sum_j v'^j e'_j$$ und damit $$\sum_i v^i \sum_j {A^j}_i e'_j = \sum_j v'^j e'_j$$ so dass: $$\sum_j \left( \sum_i {A^j}_i v^i\right) e'_j = \sum_j v'^j e'_j\:.$$ Eindeutigkeit von Komponenten von $v$hinsichtlich $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$beinhaltet schließlich: $$v'^j = \sum_i {A^j}_i v^i\qquad \mbox{where}\quad e_i = \sum_j {A^j}_i e'_j\tag1$$ Dies ist nichts anderes als die Standardregel zum Transformieren von Komponenten eines gegebenen kontravarianten Vektors, wenn man die Zerlegungsbasis ändert.

Lassen Sie uns übergehen, um kovariante Vektoren zu betrachten. Wie ich oben sagte, ist ein kovarianter Vektor nichts anderes als eine lineare Abbildung$\omega : V \to R$($R$kann ersetzt werden durch$C$bei komplexen Vektorräumen oder dem entsprechenden Ring bei Modulbetrachtung). Man beweist leicht, dass die Menge der reellwertigen linearen Anwendungen wie oben einen Vektorraum bildet,$V^*$, der sogenannte duale Raum von$V$. Wenn$\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$ist eine Grundlage von$V$, gibt es eine zugehörige Basis

$$\{e^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$$ von $V^*$, die duale Basis , definiert durch die Anforderungen (zusätzlich zur Linearität): $$e^{*k}(e_i) = \delta^k_i\tag2$$ Daher ein kovarianter Vektor $\omega \in V^*$kann immer wie folgt zerlegt werden: $$\omega = \sum_k \omega_k e^{*k}$$ und unter Verwendung der Linearität (2) und $$v = \sum_i v^i e_i$$ man sieht, dass $$\omega(v) = \sum_k \omega_k v^k\:.$$ Die RHS hängt nicht von der Wahl der Basis ab $\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$und das entsprechende $\{e^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$auch wenn es sich um Komponenten von kovarianten und kontravarianten Vektoren handelt $\omega$Und $v$hängen von den betrachteten Basen ab. Offensichtlich ändert sich die Basis in $V$und weitergeben $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$bezüglich $\{e_i\}_{i=1,\ldots,n}$durch (1), $\{e'_i\}_{i=1,\ldots,n}$entpuppt sich als Entsprechung einer dualen Basis $\{e'^{*i}\}_{i=1,\ldots,n}$. Eine einfache Berechnung basierend auf (2) zeigt dies $$e^{*i} = \sum_j {B_j}^i e'^{*j}$$ Wo $$B= \left(A^T\right)^{-1}\:.\tag3$$ Folglich für einen kovarianten Vektor $$\omega = \sum_i \omega_i e^{*i} = \sum_j \omega'_j e'^{*j}$$ Wo $$\omega'_j = \sum_j{B_j}^i \omega_i\:.\tag4$$ Diese Beziehung ist zusammen mit (3) nichts anderes als die Standardregel zum Transformieren von Komponenten eines gegebenen kovarianten Vektors, wenn man die Zerlegungsbasis ändert.

Diese Struktur taucht selten auf, wenn es um die klassische Physik geht, wo man sich normalerweise mit Orthonormalbasis beschäftigt. Der Grund dafür ist, dass beim Basiswechsel und Übergang zu einer anderen orthonormalen Basis die Matrix$A$Die Zuordnung der Basen befindet sich in der orthogonalen Gruppe, sodass:

$$B= \left(A^T\right)^{-1} =A\:.\tag3$$ und man kann, wenn man in Komponenten arbeitet, nicht zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren unterscheiden, da die ersteren in (1) und (4) tatsächlich identisch sind. Zum Beispiel für eine feste Kraft $F$mit Geschwindigkeit auf einen Punkt angewendet $v$, die lineare Karte, die die Kraft mit ihrer Leistung als Funktion von verknüpft $v$definiert einen kovarianten Vektor, den wir angeben könnten $"F\cdot"$ $$\pi^{(F)}: v \mapsto F\cdot v$$ Wo $\cdot$bezeichnet das Standard-Skalarprodukt im euklidischen Ruheraum eines Referenzrahmens.

Wenn der (echte endlichdimensionale!) Vektorraum$V$ist mit einem im Allgemeinen unbestimmten Skalarprodukt ausgestattet, dh einer nicht entarteten symmetrischen bilinearen Abbildung$g : V \times V \to R$, eine natürliche Identifizierung von$V$Und$V^*$entsteht. Es ist nichts anderes als die lineare und bijektive Abbildung, die kontravariante Vektoren mit kovarianten Vektoren verknüpft:

$$V \ni v \mapsto g(v, \:\:)\in V^*$$ Wo, offensichtlich $g(v, \:\:) : V \ni u \mapsto g(v, u)\in R$erweist sich als linear und definiert somit ein Element von $V^*$wie gesagt. In Komponenten, wenn $u= \sum_i u^i e_i$Und $s= \sum_i s^i e_i$, hat man im Hinblick auf die Bilinearität die Eigenschaft von erfüllt $g$: $$g(u,s) = \sum_{i,j} g_{ij} u^is^j\qquad \mbox{where}\quad g_{ij} := g(e_i,e_j)\:.$$ Die Matrix der Elemente $g_{ij}$ist symmetrisch und nichtsingulär (als $g$ist symmetrisch und nicht entartet). Mit dieser Definition sieht man leicht, dass, wenn $u\in V$ein kontravarianter Vektor ist, der zugehörige kovariante $g(u,\:\:)\in V^*$hat Komponenten: $$g(u, \:\:\:)_k= \sum_ig_{ki}u^i$$ also das Skalarprodukt $g(u,v)$von $u$Und $v$kann auch geschrieben werden: $$g(u,v)= \sum_{ij} g_{ij}u^iv^j = \sum_i v_i u^i\:.$$

Schließlich hat man bei wechselnder Basis Folgendes:

$$g(u,s) = \sum_{i,j} g'_{lm} u'^ls'^m\qquad \mbox{where}\quad g'_{lm} := g(e'_l,e'_m)\:,$$ Und $$g'_{lm} = \sum_{ij}{B_l}^i {B_m}^j g_{il}\:.$$

Kovariante und kontravariante Vektoren können als verschiedene Arten von Vektoren in der Physik betrachtet werden. Die meisten Vektoren, die in der üblichen klassischen Physik vorkommen, wie Position, Geschwindigkeit usw., sind kontravariant, während der Gradientenoperator (der überraschenderweise vektorartig ist; sehen Sie sich die meisten Vektoridentitäten an) ein kovarianter Vektor ist. Um mathematisch strenger zu sein, bilden sie duale Räume voneinander, genau wie die Bra- und Ket-Räume in der Quantenmechanik.

Um ein formales Verständnis dafür zu bekommen, wie sich Kovarianz und Kontravarianz unterscheiden, müssen Sie sehen, wie sich die entsprechenden Vektoren ändern, wenn sie Transformationen unterzogen werden. Siehe zum Beispiel: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors Lesen Sie den Definitionsabschnitt sorgfältig durch. Als sehr einfaches Beispiel ist der kovariante Vektor eines Spaltenvektors ein Zeilenvektor. Für eine komplexe Zahl ergibt eine ähnliche Definition ihr Konjugat.

Wenn es um innere Produkte geht, hängt es normalerweise davon ab, mit welchem ​​​​Raum Sie arbeiten. Wenn es sich um Matrizen handelt, ist das Skalarprodukt auf eine Weise definiert. Wenn Sie an einem Hilbert-Raum arbeiten, ist das Skalarprodukt als Integral des Bra- und Ket-Vektors über den gesamten Raum definiert.

In der speziellen Relativitätstheorie wird das Skalarprodukt normalerweise basierend auf der Metrik definiert.

$$\left\langle \vec{A} \mid\vec{B} \right\rangle=\eta_{{\mu\nu}}A^{\mu}B^{\nu}$$

Dies kann als Multiplizieren der Matrix angesehen werden$\eta$mit den Matrizen$A,B$.

Die Metrik ist auch beim Anheben und Absenken der Matrizen hilfreich.