Dimension des Vektors, der sich aus dem Tensorprodukt ergibt

Kein Wunder, dass Sie verwirrt sind – der Autor war es offensichtlich auch.

Erstens sind die Operationen, von denen er spricht, direkte Summen$U\oplus V$und Tensorprodukt$U\otimes V$von Vektorräumen. Das hat nichts mit dem Vektorprodukt zu tun (ein mehrdeutiger Begriff, der meistens das Kreuzprodukt bezeichnet, das Sie wahrscheinlich aus der Schule kennen).

Beides sind zwei verschiedene Möglichkeiten, Vektorräume zu einem größeren zu kombinieren:

Wenn$U$hat eine Grundlage$\{u_i\}_i$Und$V$eine Basis$\{v_j\}_j$Dann$\{u_i,v_j\}_{i,j}$ist eine Grundlage von$U\oplus V$, dh die Dimensionen werden addiert. Eine Möglichkeit, die direkte Summe zu bilden, führt über das kartesische Produkt$U\times V$, so wäre die Grundlage eigentlich$\{(u_i,0),(0,v_j)\}_{i,j}$.

Im Gegensatz,$\{u_i\otimes v_j\}_{i,j}$ist eine Grundlage von$U\otimes V$, dh die Dimensionen werden multipliziert. Die Konstruktion des Tensorprodukts ist etwas komplizierter, daher gehe ich hier nicht ins Detail. Was Sie jedoch beachten sollten, ist, dass nicht alle Vektoren des Tensorprodukts die Form haben$u\otimes v$; Zum Beispiel

$u_1\otimes v_1 + u_2\otimes v_2$

kann mit dieser besonderen Basiswahl nicht vereinfacht werden. Physiker nennen solche Zustände verschränkt.

Das Zitat von OP scheint von Folie p zu stammen. 45 in Dan Cristian Marinescus Keynote- Vortrag von der Computing Frontiers 2004- Konferenz .

Einzelne Zustandsräume von$n$Teilchen verbinden sich quantenmechanisch durch das Tensorprodukt. Wenn$X$Und$Y$Vektoren sind, dann ihr Tensorprodukt$X\otimes Y$ist auch ein Vektor, aber seine Dimension ist$\dim(X) \times \dim(Y)$, während das Vektorprodukt$X\times Y$Dimension hat$\dim(X)+\dim(Y)$. Zum Beispiel, wenn$\dim(X)= \dim(Y)=10$, dann hat das Tensorprodukt der beiden Vektoren eine Dimension$100$, während das Vektorprodukt eine Dimension hat$20$.

Das Zitat vermischt die Vorstellung eines Vektorraums und die Vorstellung eines Vektors , der in diesem Vektorraum lebt. Insbesondere spricht es verwirrenderweise von einem Vektorprodukt , wo es sich auf ein kartesisches Produkt hätte beziehen sollen .

Klar, Folien sind kein Ersatz für ein gutes Lehrbuch. Denken Sie daran, dass der Redner bestimmte Punkte möglicherweise zu stark vereinfacht hat, weil er sie später im Vortrag nicht benötigte, und dass er möglicherweise weniger wichtige Wörter auf den Folien weggelassen hat, damit er größere Schriftarten verwenden kann.

Nachfolgend schlagen wir ein rot markiertes Mittel vor.

Einzelne Zustandsräume von$n$Teilchen verbinden sich quantenmechanisch durch das Tensorprodukt. Wenn$X$Und$Y$sind Vektor$\color{red}{\it spaces}$, dann ihr Tensorprodukt$X\otimes Y$ist auch ein Vektor$\color{red}{\it space}$, aber seine Dimension ist$\dim(X) \times \dim(Y)$, während$\color{red}{\it Cartesian}$Produkt$X\times Y$Dimension hat$\dim(X)+\dim(Y)$. Zum Beispiel, wenn$\dim(X)= \dim(Y)=10$, dann das Tensorprodukt der beiden Vektoren$\color{red}{\it spaces}$Dimension hat$100$, während$\color{red}{\it Cartesian}$Produkt hat Dimension$20$.

Das Tensorprodukt ist die natürliche Erweiterung des gewöhnlichen Produkts

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

Wenn Sie zwei Vektoren haben$x,y$von Dimension$n$das Tensorprodukt werden

Wo$\Theta_{\mu\nu}$ist eine Dimensionsmatrix$n\times n$.

Das Vektorprodukt zweier Vektoren$x,y$einen dritten Vektor erzeugen$z$orthogonal zu$x,y$. Dies bedeutet, dass Sie den Vektor vollständig definieren möchten$z$musst du definieren$x$Und$y$und dann müssen Sie in Bezug auf die Freiheitsgrade die Freiheitsgrade von hinzufügen$x$Und$y$.