Was ist der Unterschied zwischen TμνTμνT^\mu{}_\nu und TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Question

Was ist der Unterschied zwischen TμνTμνT^\mu{}_\nu und TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Holz

Ich verstehe, warum die horizontale Reihenfolge für Indizes an derselben vertikalen Position wichtig ist, z.

T (v_{(1)}, v_{(2)}) = T_{μ v} v_{(1)}^{μ} v_{(2)}^{v} \neq T_{v μ} v_{(1)}^{μ} v_{(2)}^{v} = T (v_{(2)}, v_{(1)})

$T\left(V_{(1)},V_{(2)}\right) = T_\color{red}{\mu\nu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} \neq T_\color{red}{\nu\mu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} = T\left(V_{(2)},V_{(1)}\right)$

Aber ich verstehe nicht warum $T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ Im Algemeinen. So wie ich das sehe, sind beides lineare Abbildungen von einem Vektor und einem dualen Vektor $\mathbb{R}$ . Die horizontale Reihenfolge der Indizes sollte keine Rolle spielen, da die vertikale Position bereits angibt, ob es sich um den Vektorindex oder den dualen Vektorindex handelt:

T (ω, v) = T^{μ}_{v} ω_{μ} v^{v} = T_{v}^{μ} ω_{μ} v^{v} = T (ω, v)

$T(\omega,V) = T^\color{red}\mu{}_\color{red}\nu \omega_\mu V^\nu = T_\color{red}\nu{}^\color{red}\mu \omega_\mu V^\nu = T(\omega,V)$

Benutzer4552

Nur zur Verdeutlichung, ich nehme an, Sie haben den Stress-Energie-Tensor nicht im Sinn - das war, was ich ursprünglich aus Ihrer Notation angenommen habe.

Holz

@BenCrowell Richtig. Ich hätte mit der Notation vorsichtiger sein sollen. Aber

T^{μ}_{ν} \neq T_{ν}^{μ}

$T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ auch für den Stress-Energie-Tensor, richtig?

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Was ist der Unterschied zwischen TμνTμνT^\mu{}_\nu und TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Nur zur Verdeutlichung, ich nehme an, Sie haben den Stress-Energie-Tensor nicht im Sinn - das war, was ich ursprünglich aus Ihrer Notation angenommen habe.
@BenCrowell Richtig. Ich hätte mit der Notation vorsichtiger sein sollen. Aber $T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ auch für den Stress-Energie-Tensor, richtig?

Chris · Answer 1

$T^\mu{}_\nu$ Und $T_\nu{}^\mu$ Dabei handelt es sich sowohl um Abbildungen aus einem Vektor als auch um einen dualen Vektor $\mathbb R$ , WAHR. Aber sie sind nicht unbedingt die gleiche Karte wie die andere.

Mathematisch können Sie dies sehen, indem Sie den Unterschied explizit betrachten:

T^{μ}_{v} - T_{v}^{μ}

$T^\mu{}_\nu-T_\nu{}^\mu$

Sie können die Metrik verwenden, um einen der Indizes zu erhöhen/zu senken, z $T^\mu{}_\nu=g_{\rho\nu}T^{\mu\rho}$ . Wenn Sie dies für beide tun, erhalten Sie:

T^{μ}_{v} - T_{v}^{μ} = G_{ρ v} (T^{μ ρ} - T^{ρ μ})

$T^\mu{}_\nu - T_\nu{}^\mu=g_{\rho\nu}\left(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu}\right)$

Was zeigt, dass der Grund $T^\mu{}_\nu\ne T_\nu{}^\mu$ ist dasselbe wie warum $T^{\mu\nu}\ne T^{\nu\mu}$ Im Algemeinen.

JG · Answer 2

Der Unterschied ist $(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu})g_{\rho\nu}$ .

Ich meinte konzeptionell, nicht wörtlich $T^\mu{}_\nu - T_\nu{}^\mu$ . Aber jetzt bin ich fasziniert. Woher kommt dieser Ausdruck? Könnten Sie Ihre Antwort näher erläutern?
@Wood Kontraktion, die einen Index erhöht oder senkt, ändert nicht die Reihenfolge der Indizes. Für nichtsymmetrische Tensoren ist dies die einzige Möglichkeit, bestimmte Unterschiede deutlich zu machen. Bei symmetrischen Tensoren sehen Sie manchmal die Indizes an derselben horizontalen Position, weil die Reihenfolge keine Rolle mehr spielt. Das offensichtliche Beispiel ist das Zusammenziehen zweier Metriken, um ein Kronecker-Delta zu erhalten.

Was ist der Unterschied zwischen TμνTμνT^\mu{}_\nu und TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Holz

Benutzer4552

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Chris

JG

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