Ich lerne seit einiger Zeit etwas über Multivektoren und Formen und wie sie viele Dinge vereinfachen, die in der einfachen Vektorrechnung kompliziert erscheinen. Das einzige Problem bisher ist, dass ich anders als bei der Vektorrechnung nicht verstehen kann, wie man diese Objekte in der Physik verwendet.
Ich weiß zum Beispiel, dass a -blade stellt ein orientiertes Stück dar -dimensionaler Vektorunterraum aus einem Vektorraum, das weiß ich -forms stellt Wege zur "Messung" dieser Multivektoren und all dieses Zeug dar, aber ich weiß einfach nicht, wie ich sie in der Praxis verwenden soll, wie ich es in der Vergangenheit mit Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Integration in der Ebene gelernt habe und Raum und so weiter.
Gibt es irgendein Buch, das diese Dinge für einen Physiker angemessen darstellt ? Ich weiß, dass es viele gute Bücher für Mathematiker gibt, aber sie konzentrieren sich hauptsächlich darauf, die Konsequenzen der Definitionen zu beweisen, anstatt sie anzuwenden. Ich suche nach etwas, das zeigt, wie man in der Physik all diese Elemente aus der Analysis auf Mannigfaltigkeiten wirklich anwendet.
Was ich wirklich meine, ist Folgendes: Die meisten Mathematikbücher zu den Themen erzählen nur, wie man Theoreme beweist. Und oft sehe ich die Ausstellung und denke, "es ist nicht möglich, dies in der Praxis anzuwenden", während es in der Physik unzählige Interpretationen und Verwendungen gibt. Ich habe nur noch kein Buch gefunden, das dies zeigt.
Nur ein Beispiel für das, was ich sage: In der Elektrostatik beginnen wir mit dem Coulombschen Gesetz, das uns die elektrische Kraft zwischen zwei Ladungen angibt. Daraus und dem Superpositionsprinzip erhalten wir einen Ausdruck für das elektrische Feld. All dies wird mit Vektoren gemacht, so dass wir, wenn wir diese Objekte untersuchen, Divergenz, Curl und all diese Maschinen aus der Vektorrechnung verwenden. Es scheint einfach, diese Dinge als Vektoren darzustellen, aber es scheint nicht naheliegend, dies mit Formularen zu tun. Tatsächlich weiß ich nicht einmal, wie ich das in Form von Formen schreiben soll, ohne zuerst mit Vektoren zu schreiben und dann mit einer Metrik zu transformieren.
BEARBEITEN: Ich suche hauptsächlich nach Ressourcen, die dieses Thema in den Zeilen abdecken, in denen die Vektorrechnung in Arfkens Buch "Mathematische Methoden für Physiker" und den Einführungskapiteln zu Griffiths "Einführung in die Elektrodynamik" und Marions "Klassische Dynamik von Teilchen und Systemen" erscheint ". Ich weiß nicht, ob diese Art von Ressource hilfreich sein kann, aber ich dachte, diese Bearbeitung könnte meine Frage spezifischer machen.
Kyle Kanos erwähnte geometrische Algebra für Physiker . Während sich die geometrische Algebra in der Notation etwas von Differentialformen unterscheidet, sind die grundlegenden Konzepte alle vorhanden, und in vielerlei Hinsicht vermeidet die geometrische Algebra einige umständliche Dinge, die Differentialformen tun (ich denke insbesondere an die Hodge-Dualität). Ich denke, die Notation lässt sich leichter mit der Vektorrechnung in Verbindung bringen als mit Differentialformen.
Das Buch selbst ist eine Einführung in die geometrische Algebra für Fortgeschrittene, wobei der Schwerpunkt auf Anwendungen liegt. Die ersten Kapitel behandeln die Grundlagen: die Algebra selbst, Multiplikationsoperationen, lineare Algebra und die Berechnung von Multivektorfeldern.
All dies ist für die diskutierten Anwendungen wesentlich. Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie bilden das erste große Thema. Nachdem die Form von Rotationen mit quaternionähnlichen Rotoren in 3D gezeigt wurde, nutzen die speziellen Relativitätspassagen eine ähnliche Konstruktion für Lorentz-Boosts. Das EM-Feld als Bivektor wird ebenfalls diskutiert, ebenso wie die Form der Maxwell-Gleichungen unter Verwendung geometrischer Kalküle und der Raum-Zeit-Algebra.
Das Buch fährt dann damit fort, Anwendungen in der Quantenmechanik zu untersuchen. Ich denke, dies war ein Hauptaugenmerk der Autoren, aber für mich war dieser Abschnitt erheblich weniger klar oder elegant. Die Autoren beschränken sich auf die Behandlung von Spin-1/2-Teilchen und zeigen, dass die Algebra von Spin-1/2 mit der Raum-Zeit-Algebra identisch ist und Spin-Operationen geometrisch verstanden werden können. Alles schön und gut, aber ich denke, das ist ziemlich unzureichend, und einige Überlegungen oder Behandlungen darüber, wie GA allgemein für die Quantenmechanik verwendet werden könnte, wären gerechtfertigt gewesen.
Am Ende davon steht ein Ausflug in die Allgemeine Relativitätstheorie, teilweise motiviert durch den Versuch, die Dirac-Gleichung zu verallgemeinern. Somit erhalten wir statt der eigentlichen klassischen GR so etwas wie eine Alternative zum Cartan-Formalismus. Ich denke, dies ist ein Punkt von großem Interesse, da die Verwendung von GA hier es schafft, eine Menge Tensormanipulationen zu entmystifizieren, die GR inhärent sind. Dieser Abschnitt enthält ein gut ausgearbeitetes, erweitertes Beispiel für kugelsymmetrische Raumzeiten sowie eine kurze Diskussion über axialsymmetrische Raumzeiten, sodass sowohl Schwarzschild- als auch Kerr-Schwarze Löcher zusammen mit Sternen und kosmischen Strings berücksichtigt werden.
Das Buch ist etwas anspruchsvoll. Die Einführungskapitel könnten sinnvoll sein, um GA zu lernen (und einige der Konzepte, die sich auf Differentialformen beziehen; einige der eher mathematisch geneigten Passagen zur geometrischen Analysis beschreiben ausführlich die Beziehung zwischen Multivektorfeldern und Differentialformen), aber ich würde es als leichter einführend betrachten Material für eine erste Lektüre. Alan MacDonalds Bücher über GA und GC sind eher mathematisch ausgerichtet, aber sie richten sich auch an Studenten, daher sind sie meiner Meinung nach ein besserer Anfang für rein mathematische Grundlagen. Für Anwendungen ist GA für Physiker sehr solide und berührt Elektrodynamik, Quanten und allgemeine Relativitätstheorie mit einem Hauch von Starrkörperdynamik (die durch die Verwendung von Rotoren von GA erheblich vereinfacht wird).
Wenn Sie schnell ein Verständnis für die Grundlagen von Differentialformen erlangen möchten, einschließlich ihrer Beziehung zu Verbindungen, Tangentenbündeln usw., empfehle ich die ersten 4 Online-Vorlesungen des Perimeter Institute aus dem Kurs Gravitationsphysik (13/14, R. Gregor).
Für einen Anfang können Sie sich den Artikel "Differential Forms for Scientists" von JB Perot, Journal of Computational Physics, 2014, Vol. 257 Teil B, fand ich nützlich.
Kyle Kanos