Gibt es eine gute Behandlung der "vertrauten" Physik mit externem Kalkül, AKA-Differentialformen?

Mit vertrauter Physik meine ich die Physik von Dingen, die ich erreichen und berühren kann. Mit anderen Worten, weder die Relativitätstheorie noch die analytische Dynamik usw.

Nachdem ich Kapitel 4 von MTWs Gravitation noch einmal gelesen habe , frage ich mich, wo die Auszahlung ist. In ähnlicher Weise habe ich beim Durchlesen der einleitenden Teile von Differential Forms with Applications to the Physical Sciences von Harley Flanders den Eindruck, dass die äußere Infinitesimalrechnung bis zu einem gewissen Grad eine Lösung für die Suche nach einem Problem ist.

Zu den angeblichen Vorteilen, die Flandern gegenüber der Tensorrechnung für das Äußere anpreist, gehört, dass die Tensorrechnung die wesentlichen Konzepte in einem "Labyrinth von Indizes" verliert. Aber äußeres Kalkül bringt sein eigenes, ähnliches Gepäck mit sich. Ideen wie „Pull-Backs“ machen das Gewohnte (Umparametrisierung) unlösbar. Tatsächlich können einige dieser Komplikationen in der äußeren Infinitesimalrechnung durch ein vergleichbares Labyrinth von Indizes ausgedrückt werden. Siehe zum Beispiel Tensors, Differential Forms, and Variational Principles By: David Lovelock, Hanno Rund . In Anlehnung an den Ansatz, der in Advanced Calculus of Multiple Variables By: CH Edwards, Jr. verwendet wird, habe ich mir einige hübsche Möglichkeiten ausgedacht, Multi-Indizes und die Einstein-Summierungskonvention zu kombinieren, die das Labyrinth der Indizes der externen Infinitesimalrechnung überzeugend verdichten.

Aber bis jetzt sind alle Behandlungen und Anwendungen des äußeren Kalküls, denen ich begegnet bin, ziemlich fortgeschritten. Als ich lernte, Vektoren zu verwenden, brauchte ich kein ganzes Arsenal an Theorie, um sie produktiv einzusetzen. Ich hätte und wahrscheinlich hätte ich Tensoren auf die gleiche Weise lernen sollen. Ich kann ehrlich sagen, dass ich Tensoren nie wirklich verstanden habe, bis ich sie auf so vertraute Themen wie Flüssigkeitsströmungen und Elastizität anwendete. Besonders der Gradient eines Geschwindigkeitsfeldes hat mir die Augen geöffnet.

Gibt es eine Behandlung der "vertrauten" Physik unter Verwendung von Differentialformen, die ihre Anwendbarkeit veranschaulicht, ohne die intellektuelle Herausforderung von esoterischeren Themen wie der elektromagnetischen 2-Form oder der sympletischen Geometrie des Phasenraums hinzuzufügen? Es kann sein, dass solche Anträge einfach deshalb nicht gestellt wurden, weil es darauf hinausläuft, „das Rad neu zu erfinden“. Diese Themen wurden mit den Techniken der einführenden Physik effektiv behandelt und sind daher für die Meister der Differentialformen uninteressant. Ich interessiere mich für eine solche Redundanz.

Irgendwelche Vorschläge?

Die gesamte Vektorrechnung (und damit die gesamte E&M, Strömungsmechanik usw.) kann mit Differentialformen formuliert werden, und es gibt viele pädagogische Beschreibungen davon aus mathematischer Sicht. Wenn Sie es jedoch nicht mit einer Raumzeit zu tun haben, die komplizierter ist als das (3+1)-dimensionale Minkowski, ist dies ein ziemlich großer zusätzlicher Aufwand für sehr wenig wirkliche Verbesserung.
"Verbesserung" an sich interessiert mich nicht wirklich. Ich bin daran interessiert, mich mit differentiellen Formen in einem Bereich vertraut zu machen, in dem meine "naiven" Argumente anwendbar sind. Dass das Hodge-Dual der 4-Stromdichte gleich der Ladungs-3-Form im Minkowski-Raum ist, ist meiner Intuition nicht unmittelbar zugänglich.
Ich stimme @Buzz nicht zu und möchte argumentieren, dass die gebräuchlichere Notation unnötig ungeschickt und nicht auf den Punkt gebracht ist. Es gibt ein ziemlich altes Buch von Westenholz und das Buch von Nakahara über "Geometrie, Topologie und Physik" behandelt modernere Anwendungen. (Aber ich sollte Sie warnen: Wenn Sie diesen folgen, werden Sie wahrscheinlich nicht bereit sein, sich irgendeine der traditionellen Darstellungen von, sagen wir, Maxwells Theorie anzusehen. ;-)
Nach dem, was ich gelesen habe, sind Differentialformen ein Sonderfall einer Tensoralgebra, bei der bestimmte Terme als Null quotiert werden.

Antworten (2)

Zählen Sie die Thermodynamik zur „bekannten Physik“? Wenn ja, kann ich Ihnen keinen Hinweis auf gedruckte Bücher geben (obwohl ich nicht ausschließen kann, dass es welche gibt). Ich habe eine solche Behandlung vor fast 30 Jahren entwickelt, als ich Allgemeine Physik I, ein ganzes Jahr, 1. Jahr (19) Physikkurs an der Universität Pisa (Italien) unterrichtete. Vorlesungsskripte sind verfügbar, aber in italienischer Sprache.

Ich skizziere ein spezielles Argument, den Beweis des folgenden Satzes:

Wenn ein thermodynamisches Fluid der Zustandsgleichung gehorcht

(1) P v = R T
dann hängt die innere Energie allein von der Temperatur ab.

(Der Beweis ist auch insofern lückenhaft, als einige notwendige vorherige Schritte verstanden bleiben.)

1) Zwei Differentialformen sind bekannt: ω für Wärme, λ für die Arbeit. Das erste Prinzip wird als angegeben

λ + ω = D U .

2) Arbeit ist λ = − P D v , Hitze ist ω = T D S . Dann

(2) D U = T D S − P D v .

3) Differenzieren (2)

(3) D T ∧ D S = D P ∧ D v .

4) Differenzieren (1)

P D v + v D P = R D T .
Externes Produkt mit D v gibt
(4) v D P ∧ D v = R D T ∧ D v .

5) Aus (1) haben wir v = R T / P und Einsetzen in (4)

T D P ∧ D v = P D T ∧ D v
und mit (3)
T D T ∧ D S = P D T ∧ D v
D T ∧ ( T D S − P D v ) = 0
oder durch (2)
(5) D T ∧ D U = 0.

6) Es wurde zuvor gezeigt, dass wenn für zwei Skalarfunktionen F , G hat man D F ∧ D G = 0 Dann F Und G sind funktional abhängig, dh (grob gesagt) ist das eine Funktion des anderen. Dann beweist (5) den Satz.

An dein Beispiel muss ich noch denken. In ähnlicher Weise: Ich denke, ein Ansatz mit differentiellen Formen könnte auf die schwierige Aufgabe anwendbar sein, die "offensichtlichen" Grundlagen der kinetischen Theorie von Gasen zu erstellen. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Kinetic/kinthe.html#c2 Es reduziert möglicherweise nicht die Anzahl der Handbewegungen, bietet aber möglicherweise eine alternative Ansicht. Anstatt von Partikeln zu sprechen, die zwischen Wänden hin und her springen, zählen Sie die Anzahl der "Wände", die von einem durchschnittlichen Molekül durchdrungen werden. Stellen Sie die "Wand"-Dichte unter Verwendung einer 1-Form dar.

Ich wollte Flandern vorschlagen, aber anscheinend kennst du es schon und es hat dir nicht gefallen. Wie auch immer, wenn man sich Ihre Fragen ansieht, scheint es, dass Sie im Allgemeinen mit der Differentialgeometrie zu kämpfen haben.

Aus diesem Grund möchte ich Fecko: Differential Geometry and Lie Groups for Physicists vorschlagen. Es ist ziemlich gut und eine angenehme Lektüre.

Gibt es eine gute Behandlung der "vertrauten" Physik mit externem Kalkül, AKA-Differentialformen?
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