Ricci-Tensor, der durch die Metrik gegeben ist

Wie in den Kommentaren erwähnt, ist die Berechnung algebraischer Ausdrücke für den Ricci-Tensor, der die Metrik enthält, seine Umkehrung und seine erste und zweite Ableitung unter Verwendung von Computeralgebra einfach.

Die willkürlichste Metrik

$$g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}$$ hat 10 unabhängige Komponenten, die Funktionen von vier Koordinaten sind $\left\{x_0,x_1,x_2,x_3\right\}$: $$g_{\alpha\beta}(x_0,x_1,x_2,x_3).$$ Die Metrik hat eine Inverse mit 10 unabhängigen Komponenten $$g^{\alpha\beta}=g^{\beta\alpha}.$$

Die Metrik hat 40 unabhängige erste partielle Ableitungen

$$g_{\alpha\beta,\gamma}$$ und 100 unabhängige zweite partielle Ableitungen (100 und nicht 160 wegen der Symmetrie der zweiten Ableitungen) $$g_{\alpha\beta,\gamma\delta}=g_{\alpha\beta,\delta\gamma}.$$

Mit diesen Zutaten ($g_{\alpha\beta}$,$g^{\alpha\beta}$,$g_{\alpha\beta,\gamma}$Und$g_{\alpha\beta,\gamma\delta}$) kann man 21 Komponenten des Riemann-Tensors berechnen$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$. Man könnte eine dieser 21 Komponenten unter Verwendung der ersten Bianchi-Identität eliminieren.

Um nur ein Beispiel in diesem Beitrag zu nennen:$R_{0102}$hat 1510 Terme: 4 zweite Ableitungen und der Rest sind Kontraktionen von Christoffel-Symbolen:

Der Ricci-Tensor kann aus der Kontraktion konstruiert werden

$$R_{\alpha\beta}=R^\mu_{\,\,\alpha\mu\beta}$$ es enthält also die Komponenten der inversen Metrik und diese 21 Riemann-Tensoren:

Schreiben$R_{\alpha\beta}$aus in Bezug auf$g$wird nur super chaotisch im Falle von$R_{01}$wir sprechen über 8711 Terme. Ich habe keine Ahnung, wie man sich einen solchen Ausdruck hier bei SE vorstellt. Ich habe ein PDF hochgeladen (Vorsicht, es ist ziemlich groß).$R_{01}$ hier .

Ich habe auch .m- Dateien hochgeladen, die alle 10 unabhängigen Komponenten von enthalten$R_{\alpha\beta}$ Rij.m und die 21 Komponenten von$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$ Rijkl.m .

Wie im Kommentar zur ursprünglichen Frage ausgeführt, haben diese Ausdrücke nur sehr begrenzten Nutzen. Aber vielleicht ein paar Schlussfolgerungen:

1. Wir sehen, dass eine Tensornotation in Summenkonvention eine sehr sehr elegante Art ist, diese Ausdrücke zu formulieren.
2. Diese elegante Notation verdeckt die allgemeine Komplexität dieser Ausdrücke.
3. Die expliziten Ausdrücke in Bezug auf$g$veranschaulichen die äußerste Bedeutung von Symmetrien und eine gute Koordinatenwahl für ein gegebenes Problem.
4. Um mit den Feldgleichungen zu arbeiten, sind Symmetrien und/oder fortgeschrittene Methoden der Numerischen Relativitätstheorie notwendig, da die Ausdrücke und Gleichungen in einer naiven Form einfach zu kompliziert sind. Ein solcher "brute force"-Ansatz zum Formulieren/Ausdrucken der Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie ist zum Scheitern verurteilt.

Wahrscheinlich ist die Frage für den TS schon nicht relevant, aber für andere vielleicht interessant.

$$\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu \nu}=&\frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\nu}{{g}_{\mu \sigma}}\, + \frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\mu}{{g}_{\nu \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {\partial}_{\rho}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\sigma}{{g}_{\mu \nu}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\nu \rho}{{g}_{\mu \sigma}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\mu \rho}{{g}_{\nu \sigma}}\,\\ & - \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\rho \sigma}{{g}_{\mu \nu}}\, - \frac{1}{2}\, {\partial}_{\nu}{{g}^{\rho \sigma}}\, {\partial}_{\mu}{{g}_{\rho \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\mu \nu}{{g}_{\rho \sigma}}\, + \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\nu}{{g}_{\mu \kappa}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, + \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\mu}{{g}_{\nu \kappa}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, \\ & - \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \nu}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\rho \sigma}}\, - \frac{1}{4}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\mu}{{g}_{\kappa \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\nu}{{g}_{\lambda \sigma}}\, - \frac{1}{2}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\sigma}{{g}_{\nu \lambda}}\, + \frac{1}{2}\, {g}^{\kappa \lambda} {\partial}_{\kappa}{{g}_{\mu \rho}}\, {g}^{\rho \sigma} {\partial}_{\lambda}{{g}_{\nu \sigma}} \end{aligned} \end{equation}$$

Ich habe dies mit dem Computeralgebraprogramm Cadabra erhalten. Es erzeugt eine Ausgabe als LaTeX-Datei. Die Notationen sind wie folgt

$$\begin{equation} \begin{aligned} R^{\rho}{}_{\sigma \mu \nu}& = \partial_{\mu}{\Gamma_{\nu \sigma}{}^{\rho}}- \partial_{\nu}{\Gamma_{\mu \sigma}{}^{\rho}} +\Gamma_{\mu \kappa}{}^{\rho}\Gamma_{\nu \sigma}{}^{\kappa}-\Gamma_{\nu \kappa}{}^{\rho}\Gamma_{\mu \sigma}{}^{\kappa},\\ \Gamma_{\mu \nu}{}^{\rho} &= \frac{1}{2}g^{\rho \sigma}\big(\partial_{\mu}{g_{\sigma \nu}} +\partial_{\nu}{g_{\sigma \mu}} -\partial_{\sigma}{g_{\mu \nu}}\big). \end{aligned} \end{equation}$$ Ich habe keine Vereinfachungen des Ergebnisses mithilfe der Eigenschaften der Metrik ausprobiert$g_{\mu\nu}$.