Verbindung und Krümmung unter Verwendung von Differentialformen [Duplikat]

Es gibt ein Beispiel für die Ableitung der Schwarzschild-Metrik unter Verwendung des Tetradenformalismus in Walds Allgemeiner Relativitätstheorie. Beachten Sie, dass er die abstrakte Indexnotation anstelle der differentiellen Formnotation verwendet, dies ist jedoch ein rein notationeller Unterschied seinerseits, das Verfahren ist völlig analog.

---

Die allgemeine Methodik ist jedoch wie folgt:

1) Cartans erste Strukturgleichung ist

$$T^a=d\theta^a+\omega^a_{\ b}\wedge\theta ^b.$$ Für eine torsionsfreie Verbindung ist dies $$0=d\theta^a+\omega^a_{\ b}\wedge\theta^b,$$ Wo $\theta^a$ist das covielbein und $\omega^a_{\ b}$ist die Verbindungsform.

Wenn die Verbindung auch metrisch kompatibel ist, dann haben wir

$$(d^\nabla g)_{ab}=dg_{ab}-\omega^c_{\ b}g_{ac}-\omega^c_{\ a}g_{cb}=0,$$ was impliziert, dass für einen orthonormalen/starren Rahmen ( $g_{ab}=\eta_{ab}$) wir haben $$\omega_{ab}=-\omega_{ba},$$ so ist in diesem Fall die Verbindungsform $\mathfrak{o}(1,3)$-bewertet (schiefsymmetrisch, wenn beide Indizes gesenkt oder erhöht werden).

Aus der pseudo-riemannschen Geometrie wissen wir, dass die Bedingung der Torsionslosigkeit und der metrischen Kompatibilität die Verbindung eindeutig bestimmen, sodass zusammen mit der Antisymmetriebedingung die erste Strukturgleichung von Cartan zur Berechnung der Verbindung verwendet werden kann.

2) Die Gleichung

$$0=d\theta_a +\omega_{ab}\wedge\theta^b$$ besteht aus 4 2-Form-Gleichungen. Durch das Ausschreiben der Basiserweiterung von $\omega_{ab}$explizit können Sie alle 1-Verbindungsformen erhalten (ich habe absichtlich alles heruntergesetzt, da die Antisymmetriebedingung in diesem Fall effektiver verwendet werden kann).

3) Zur Berechnung der Krümmung wird direkt die zweite Strukturgleichung von Cartan verwendet:

$$\Omega_{ab}=d\omega_{ab}+\omega_{ac}\wedge\omega^c_{\ b}.$$

Im Grunde ist hier alles bekannt, man kann also einfach alles einstecken und separat kalkulieren$\Omega_{01},\Omega_{02},\Omega_{03},\Omega_{12},\Omega_{13}$Und$\Omega_{23}$. Du bist fertig.

Anmerkungen:

• Es ist vorzuziehen, die Differentialform mit der Koordinatenbasis auszudrücken, was Sie also zum Beispiel für die Verbindungsform erhalten$\omega_{\mu\ b}^{\ a}\mathrm{d}x^\mu$.

• Die Berechnung der Verbindungsform ist hier der "schwierige" Teil - es ist nur geringfügig einfacher / schneller als die Verwendung der Koordinatenbasisformel für die Christoffel-Symbole - die Berechnung der Krümmung ist jedoch VIEL einfacher. Beim Ansatz auf Koordinatenbasis müssen Sie alle unabhängigen Komponenten manuell aufzählen und berechnen, was mühsam ist, während Sie hier nur sechs 2-Formen berechnen müssen, bündeln Sie im Wesentlichen mehrere Berechnungen effizient zu Zeichenfolgen von Komponenten.