Differentialformen oder Tensoren für die moderne Theoretische Physik?

Das ist eine sehr gute Frage!

Lassen Sie mich zunächst versuchen, das Problem der Differentialformen vs. Tensoren anzusprechen. Erstens sind Differentialformen, wie bereits erwähnt, eine spezielle Art von Tensoren. Allerdings sind längst nicht alle für die Physik wichtigen Tensoren Differentialformen. Ein Beispiel sind Vektorfelder, die eine andere Art von Tensoren sind. Diese kommen überall in der Geometrie vor. Um nur eines zu nennen, werden infinitesimale Transformationen einer physikalischen Theorie durch Vektorfelder auf ihrer Mannigfaltigkeit von Zuständen dargestellt. Allgemeine Tensoren können jedoch konstruiert werden, indem Tensorprodukte von Vektoren und 1-Formen (die die einfachste Art von Differentialformen sind) genommen werden. In Koordinaten$x^\mu$, Vektoren werden umspannt$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$während 1-Formen von überspannt werden$\text{d}x^\mu$. Beispiele für diese allgemeineren Tensoren sind

• Allgemein$k$-Formen $$\omega=\frac{1}{k!}\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}\text{d}x^{\mu_1}\otimes\cdots\otimes\text{d}x^{\mu_k},$$ mit$\omega_{\mu_1\cdots\mu_k}$total antisymmetrisch. Dies sind die Objekte, die auf Dimensions-Mannigfaltigkeiten integriert werden können$k$. Ein Beispiel dafür ist die symplektische Form der Hamiltonschen Mechanik.
• Metriken $$g=g_{\mu\nu}\text{d}x^\mu\otimes\text{d}x^\nu,$$ mit$g_{\mu\nu}$vollkommen symmetrisch. Dies ist keine differentielle Form. Es ist jedoch aus 1-Formen aufgebaut. Sie sind der Schlüssel, um relativistische Raumzeiten zu definieren.
• Inverse Metrik $$g^{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}\otimes\frac{\partial}{\partial x^\nu},$$ mit$g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho$. Dies ist wiederum keine Differentialform. Es ist nicht einmal aus 1-Formen aufgebaut!

Nun, in der allgemeinen Relativitätstheorie scheint es manchmal so, als ob alles aus Differentialformen aufgebaut ist, weil eine große Klasse von Tensoren (die kovarianten Tensoren, die alle ihre Indizes haben) aufgebaut werden können$1$-Formen. Sobald wir eine Metrik haben, können wir insbesondere alle Tensoren so schreiben, als ob sie kovariant wären, indem wir alle Indizes verringern. Dasselbe passiert in der klassischen Mechanik, sobald wir eine symplektische Form haben. Allerdings sind auch in diesen Fällen nicht alle Tensoren Differentialformen. Außerdem gibt es physikalische Situationen, wo man keine Metriken oder symplektischen Formen hat, wo nicht alle Tensoren aus 1-Formen aufgebaut werden können und man auch Vektorfelder braucht. Das ist zum Beispiel bei einer Newtonschen Raumzeit der Fall, wo es keine Metrik gibt und man Vektorfelder benötigt, um etwa die Geschwindigkeit eines Teilchens zu beschreiben.

Abgesehen davon ist es meiner Erfahrung nach (die zugegebenermaßen sehr eingeschränkt ist) für theoretische Physiker immer häufiger, ein sehr solides Verständnis der Grundlagen der Differentialgeometrie (und vieles mehr!) zu haben. Dazu gehört ein allgemeines Verständnis von Tensoren. Ich denke, dass es sich aufgrund der immensen Anwendungsmöglichkeiten des Faches in der Physik durchaus lohnt, sich in das Fach einzuarbeiten.

Empfehlungen:

1. Sehen Sie sich diese Playlist von Prof. Frederic Schuller zur Allgemeinen Relativitätstheorie an . Diese Vortragsreihe und die nächste sind sehr berühmt geworden. Ich habe Menschen auf der ganzen Welt getroffen, die das Thema durch Beobachtung gelernt haben.
2. Diese nächste Playlist desselben Professors befasst sich mit allgemeiner Differentialgeometrie . Es beginnt auf einer grundlegenderen Ebene als die vorherigen und konzentriert sich auf andere Themen der Geometrie, die in anderen Bereichen als der allgemeinen Relativitätstheorie von Interesse sind. Es ist sicherlich tiefergehender als 1. Obwohl es sich jedoch an Physiker richtet und sicherlich alle behandelten Themen für die moderne Physik sehr wichtig sind, deckt der Kurs nicht viele Anwendungen ab. Es war daher schwieriger für mich zuzusehen. Ich habe 1. zuerst gesehen und dann, als die Themen in meinem Physikstudium auftauchten, sah ich verschiedene Teile von 2. Einige würden argumentieren, dass ein modernes Verständnis der Teilchenphysik (selbst auf klassischem Niveau) bereits das gesamte Material in 2 erfordert.
3. Das Buch Geometry, Topology and Physics of Nakahara ist in dieser Hinsicht ein Klassiker. Allerdings fand ich es anfangs zu schwer zu lesen. Nachdem ich mir jedoch die oben genannten Vorträge angesehen habe, genieße ich es jetzt sehr. Darüber hinaus behandelt es viele andere für die Physik relevante Themen außerhalb des Bereichs der Differentialgeometrie, die heutzutage von entscheidender Bedeutung sind.
4. Ich möchte auch eine Einführung in die Riemannsche Geometrie erwähnen : Mit Anwendungen in der Mechanik und Relativitätstheorie von Godinho und Natário. Ähnlich wie Referenz 1. ist das Ziel dieses Buches eher die Riemannsche Geometrie als die Differentialgeometrie. Trotzdem ist es eine hervorragende Einführung und ich fand die Anwendungskapitel sehr nützlich!
5. Ich denke jedoch, dass das Beste, was ein an Geometrie interessierter Student tun kann, darin besteht, die Standardwerke der Mathematiker zu erkunden. Sie sind meiner Meinung nach die klarsten und am einfachsten zu verwendenden. Wenn man Inspiration zu den physikalischen Anwendungen braucht, kann man immer zu den oben genannten Referenzen gehen. Klassische Lehrbücher der Mathematik sind Introduction to manifolds (bitte zuerst lesen) von Tu und Introduction to Smooth Manifolds von Lee. Diese beiden Autoren haben weitere Lehrbücher über Geometrie geschrieben, die ebenfalls sehr nützlich sind.