Physikalische und geometrische Interpretation von Differentialformen

Ich habe Zweifel an der physikalischen und geometrischen Interpretation von Differentialformen. Ich habe Differentialformen in Spivaks Calculus on Manifolds studiert, aber meine eigentliche Absicht ist es, diese Konzepte in der Physik zu verwenden.

Ich war sehr erstaunt, als ich herausfand, dass eine Kraft als eine beschrieben werden kann 1 -Form, die mir bei gegebenem Vektor die Arbeit gibt, ein Teilchen entlang des Vektors zu bewegen, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag. Ich glaube wirklich, dass diese Konzepte in der Physik viel mehr Verwendung finden. Zum Beispiel das Schreiben von Maxwell-Gleichungen in einer allgemeineren Form.

Das Problem mit diesen Büchern wie Calculus on Manifolds ist, dass alle, die ich gefunden habe, sich nicht allzu sehr um die physikalische und geometrische Interpretation dieser Konzepte kümmern. Obwohl sie beispielsweise kommentieren, wie dies zu Passungen und Geometrie usw. führt, geht es nicht darum, zu rechtfertigen, warum Formen mit Dichte zusammenhängen und wie dies verwendet werden kann, um Dinge in der Physik zu modellieren.

Was ich dann fragen möchte, ist, ob jemand von Ihnen Bücher empfehlen kann, die erklären, wie diese Konzepte in die Physik passen, wie sie verwendet werden können, um genaue Beschreibungen physikalischer Phänomene zu geben.

@Qmechanic Ich denke, diese Frage ist anders und etwas spezifischer als die Links, die Sie angegeben haben, weil er explizit und spezifisch nach der physikalischen Interpretation von Differentialformen fragt. Es wäre schön, wenn die Frage eine Antwort erhalten könnte, die die Dinge direkt durch schöne Beispiele erklärt oder auf ein kürzeres als ein Buch-Tutorial verweist, abgesehen davon, dass nur ein Buch empfohlen wird. Daher gefiel mir das Tag "Referenzanfrage" (das oft besser ankommt) besser als das Tag "Buch", das die Frage jetzt hat ...
Und wenn ich das richtig verstanden habe, geht es bei der Frage nicht nur um Differentialformen in der klassischen Mechanik, sondern allgemein darum, wofür sie in verschiedenen Teilgebieten der Physik allgemein nützlich sind, daher bin ich anderer Meinung, dass es sich um ein Duplikat handelt. An einer Antwort bin ich natürlich auch interessiert ... :-)
Eine coole Anwendung von Differentialformen bei der Verallgemeinerung der Maxwell-Theorie auf höhere Dimensionen führt zu Branes als Verallgemeinerung geladener Teilchen
@Dilaton: Bitte beachten Sie, dass es einen langen (und a priori nicht trivialen) Vorrang bei der Verwendung von Büchern und Referenzanfragen gibt . Weitere Informationen finden Sie in den Tag-Beschreibungen, falls Sie dies noch nicht getan haben. Ich denke, es gibt auch einige Diskussionen auf der Meta-Site, aber ich habe vergessen, wo.
@Qmechanic Ich schätze, es war diese Frage, und damals hat niemand meiner Antwort sichtbar widersprochen, dass Referenzanfragen in Ordnung sein sollten, während ich festgestellt habe, dass Buchfragen heutzutage leider fast immer von Anfang an zum Scheitern verurteilt sind ... :-/
Es gibt ein gutes Buch von John Baez und seinen Freunden mit dem Titel „Gauge Fields, Knots and Gravity“. Es spricht auf sehr geometrische Weise über die Yang-Mills-Theorie, Themen der Chern-Simons-Theorie, Gravitation usw.
Differentialformen sind einfach antisymmetrische Tensoren; ihre Verwendung lässt alle anderen Arten von physikalischen Größen vergessen, die nicht als antisymmetrische Tensoren geschrieben werden können. Meiner Meinung nach ist es besser, mit Tensoren zu arbeiten.
Nachdem ich unten einen Kommentar über das Buch von Harley Flanders geschrieben habe, ist mir gerade etwas klar geworden: Die Differentialformen sind das Herzstück mehrerer Felder. Sie können sich ihnen durch ein rein mathematisches Problem mit Matrix- oder partiellen Differentialgleichungen nähern, aus der reinen klassischen Physik, aus der Quantenmechanik, ... jedes Mal, wenn Sie einen etwas anderen Ansatz benötigen. Könnte in Ordnung sein, wenn Sie ein wenig Ihren Standpunkt angeben und was Sie daraus verstehen möchten. Mir ist klar, dass Diff. Form sind nicht von primärer Bedeutung, um beispielsweise das Newtonsche Gesetz von Punktteilchen zu verstehen :-).

Antworten (4)

Differenzialformen erzählen Ihnen nicht die ganze Geschichte - streng genommen beschäftigen sich Differenzialformen nur mit Covektoren und Keilprodukten von Covektoren und verwenden dann den Hammer des Hodge-Sterns, um ungeschickt innere Produkte erstellen zu können. Für mich ist es zu weit entfernt von der Vektorrechnung, die Sie vielleicht bereits kennen.

Stattdessen fordere ich Sie dringend auf, sich mit geometrischer Algebra zu befassen. Alle Ergebnisse der Differentialformen gelten auch für die geometrische Algebra – die erstere ist streng in der letzteren enthalten – aber die Notation ist viel vertrauter und die Betonung liegt auf der geometrischen Interpretation statt auf abstraktem Symboldrücken. David Hestenes hat mehrere Bücher zu diesem Thema. Wahrscheinlich das maßgebende Stück in Bezug auf die Verwendung geometrischer Algebra zur Lösung physikalischer Probleme ist Geometric Algebra for Physicists von Doran und Lasenby. Auf dieser Website , die von Gull, Doran und Lasenby geschrieben wurde, können Sie auch schnell einige Dinge lesen.

Ich gebe einen kurzen Überblick. Geometrische Algebra hat ein Keilprodukt wie Differentialformen, aber Sie können auch direkt ein Skalarprodukt verwenden. Tatsächlich kombiniert es die beiden in einer nützlichen Operation, die als geometrisches Produkt bezeichnet wird und wie folgt definiert ist. Für zwei Vektoren a , b , das geometrische Produkt a b ist

a b = a ⋅ b + a ∧ b

Das geometrische Produkt ist assoziativ (obwohl das Skalarprodukt es nicht ist!). Das macht es sehr nützlich. Als Folge dieser Assoziativität ist es auch im euklidischen Raum invertierbar. Dies ermöglicht die Formel

a = a b b − 1 = ( a ⋅ b ) b − 1 + ( a ∧ b ) ⋅ b − 1

Geometrisch zerfällt dieser a hinein a ∥ , b und a ⊥ , b . Das betonen wir a ∧ b bezeichnet eine orientierte Ebene , und weitere Keilprodukte ergeben orientierte Volumen und mehr.

Einige Anwendungen unmittelbar in der Physik sind wie folgt:

  1. Drehimpuls als Bivektor. Dies ist eines der ersten Male, dass Sie ein Kreuzprodukt "brauchen", und die Verwendung des Keilprodukts führt stattdessen zu einer saubereren Interpretation. Der Drehimpulsbivektor ist genau die Ebene, in der sich zwei Körper relativ zueinander bewegen. Dies lässt sich auch über 3d hinaus verallgemeinern, daher ist es sinnvoll, auch in der Relativitätstheorie über Drehimpuls-Bivektoren zu sprechen.
  2. Vereinheitlichung von Integralsätzen (Grundsatz der Analysis). Geometrischer Kalkül (wie Differentialformen) ermöglicht die Vereinheitlichung des Divergenzsatzes, des Satzes von Stokes usw. als ein Grundkonzept: dass das Integral einer Funktion über eine Grenze gleich dem Integral der Ableitung über die begrenzte Region ist diese Grenze. Ich denke, das ist ein bedeutendes Problem für die Lebensqualität; sich nur ein Konzept merken zu müssen, ist meiner Meinung nach viel einfacher, als sich an viele separate Integralsätze zu erinnern.
  3. Relativitätstheorie ohne Indizes oder klassische Tensorrechnung. Die Kombination der Punkt- und Keilprodukte der geometrischen Algebra ermöglicht alle üblichen Operationen, für die man normalerweise Tensorkalkül und Indexnotation benötigt. Die Relativitätstheorie kann mit einer bescheidenen Erweiterung der im 3D-Elektromagnetismus verwendeten Methoden dargestellt werden. Das geometrische Produkt ermöglicht es, die Maxwell-Gleichung im Vakuum auf eine Gleichung (statt zwei für Differentialformen) zu reduzieren: ∇ F = J . Dies betont die Interpretation des EM-Feldes F als Bivektorfeld, ein Feld orientierter Ebenen in der gesamten Raumzeit.
  4. Geometrische Interpretation der Quantenmechanik. Ein Großteil der Quantenmathematik wird als mystisch oder speziell für QM dargestellt, aber das meiste davon ist tatsächlich der geometrischen Struktur von Raum und Zeit inhärent. Die geometrische Algebra erlaubt es, die Pauli- und Dirac-Algebren als Algebren von Basisvektoren im 3D- und 3+1D-Raum zu behandeln. Dies macht die Interpretation von Spin und Spinoperatoren inhärent geometrisch.
  5. Konstruktion von Spinoren. Spinoren sind Dinge, mit denen wir uns oft in Quanten beschäftigen, vielleicht nur mit dem Verständnis, dass sie durch rotiert werden müssen 4 π Anstatt von 2 π in ihre ursprüngliche Form zurückzukehren. Geometrische Algebra zeigt, dass Spinoren allen Rotationen zugrunde liegen – sogar denen des einfachen alten 3D-Raums. Tatsächlich sind die Spinoren des 3D-Raums Quaternionen und die Spinoren des 2D-Raums komplexe Zahlen. GA bietet einen Rahmen für die Konstruktion von Spinoren und deren Manipulation wie andere Objekte.

Differentialformen können einige dieser Dinge ebenfalls, andere nicht (es kann Maxwells Gleichungen absolut nicht auf einen Ausdruck reduzieren). Beide Formalismen sind jedoch eine große Verbesserung gegenüber traditionellen Methoden.

"(es kann Maxwells Gleichungen absolut nicht auf einen Ausdruck reduzieren)". In diesem Fall sollten Sie statt geometrischer Algebra wahrscheinlich etwas normale Differentialgeometrie studieren. Alle Formeln im früheren Framework sehen genau gleich aus. Siehe das untere Ende dieser Tabelle .
@ Vibert Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Nur GA hat die ∇ F = J Ausdruck, der sich über beide Spalten der Tabelle erstreckt. Ja, Formen können eine Gleichung haben, wenn es um das Vier-Potenzial und um die Lorenz-Eichung geht, aber ∇ F = J ist immer gültig, unabhängig von der Spurweite.
Ich verstehe Ihren Standpunkt, aber das Zählen der Anzahl der Gleichungen ist fast eine Frage der Buchhaltung. Angenommen, ich definiere den Operator D : F ↦ ( d F , d ∗ F ) ≡ D ⋅ F und ähnlich J ~ ≡ ( 0 , J ) . Dann habe ich das sicher D ⋅ F = μ 0 J ~ und ich habe die Maxwell-Theorie irgendwie auf eine Gleichung in der Sprache der Differentialformen reduziert. Hat uns das etwas Nützliches gebracht? Meiner Meinung nach nicht.
Im Gegenteil, Gleichungen dieser Form (die verwenden ∇ in einem geometrischen Produkt, anstatt als Divergenz oder Kräuselung) sind in dem Sinne invertierbar, dass sie Greensche Funktionen haben. In 3D beschäftigen wir uns oft nur mit der Green-Funktion für ∇ 2 , aber GA ermöglicht es uns, eine Green-Funktion für einen Vektor zu konstruieren ∇ direkt und nutzen Sie es als praktisches Werkzeug.
OK. Auf jeden Fall ist es schwierig, Formalismen zu vergleichen. Übrigens möchte ich diesen Methoden gegenüber nicht zynisch klingen: Wenn einige Leute sie effizient einsetzen können, haben sie mehr Macht.
@Muphrid Danke für diese Antwort. Diese geometrische Algebra klingt für mich wirklich nach Quaternionen. Ist es einfach, die Differentialgeometrie von ihnen zu verstehen? Wie "passen" oder "reparieren" sie die Verwendung der Lie-Gruppenstruktur? Eines der Hauptinteressen von Differentialformen besteht darin, dass sie die Lie-Ableitung leicht implementieren. Wie macht man das algebraisch? Übrigens nochmals vielen Dank.
@Oaoa Es gibt zwei grundlegende Ansätze zur Differentialgeometrie. Eine beinhaltet das Einbetten in einen flachen Raum und die Verwendung von Vorsprüngen auf dem Verteiler; das ist ziemlich einfach. Die andere beinhaltet die Verwendung von nur flachen Verteilern mit Messfeldern darüber; Dies wurde verwendet, um die allgemeine Relativitätstheorie zu modellieren, und hat den Vorteil, dass es vollständig intrinsisch ist. Hestenes hat in seinem Buch Clifford Algebra to Geometric Calculus ein Kapitel über Lie-Gruppen . Er vermutet, dass alle Lie-Gruppen von Bivektoren erzeugt werden, was GA daher sehr nützlich für das Verständnis von Lie-Algebren macht, aber die Behauptung ist noch nicht bewiesen
@Muphhrid: Eine physikalische Größe muss als Darstellung einer Gruppe transformiert werden, jedoch im GA-Ausdruck a b = a ∙ b + a ∧ b das Punktprodukt transformiert sich unter der orthogonalen Gruppe O(n), während das Keilprodukt sich unter der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,R) transformiert: Wie kann das Mischen von Gruppen auf diese Weise ein hilfreicher Formalismus in der Physik sein?
@StephenBlake Es hört sich so an, als ob Sie glauben, dass das Skalarprodukt nur deshalb physikalisch ist, weil es unter den Aktionen von unveränderlich ist Ö ( n ) , aber ein allgemeines Prinzip der Eichinvarianz unter allen differenzierbaren Neuzuordnungen von Positionen ersetzt diese Symmetrie (siehe Lasenby, Doran und Gull). Bivektoren werden aus Vektoren generiert und transformieren auf die gleiche Weise durch "Outermorphismus": unter einem linearen Operator T _ , der Bivektor a ∧ b zugeordnet ist T _ ( a ∧ b ) ≡ T _ ( a ) ∧ T _ ( b ) .
@Muphrid: Dein linearer Operator T ist eine GL(n,R)-Matrix und der Keilproduktterm a ∧ b verwandelt sich unter T wie Sie es geschrieben haben, sondern der Skalarproduktbegriff a ∙ b verwandelt sich nicht unter T ∈ G L ( n , R ) Also das GA-Produkt a b ist als physikalische Größe nicht sinnvoll. GA umgeht dies, indem es nur verwendet a b Wenn T ist auf O (n) beschränkt, aber das fühlt sich für mich unzusammenhängend an. Ihr Hinweis auf die Eichinvarianz ist für diese grundlegenden Dinge, die auf den ersten Seiten eines GA-Lehrbuchs erscheinen, nicht relevant.
@StephenBlake Ich verstehe nicht, warum sich Objekte unter der allgemeinen linearen Gruppe transformieren müssen , um physisch zu sein, wie Sie behaupten. Hestenes sieht sicherlich kein Problem darin, die Wirkung eines linearen Operators auf einen Skalar als den Skalar selbst zu definieren. Können Sie auf etwas Besonderes hinweisen, bei dem Sie dachten, dass das geometrische Produkt nur in Verbindung mit der orthogonalen Gruppe verwendet wird?
@Muphrid: Ich sage nicht, dass sich eine physikalische Größe unter GL (n, R) transformieren muss, um physikalisch zu sein. Ich sage, dass sich eine physikalische Größe unter einer Gruppe umwandeln muss; die Schwierigkeit mit a b = a ∙ b + a ∧ b ist, dass sich jedes Stück auf der rechten Seite in eine andere Gruppe verwandelt. Man kann dies deutlich sehen, wenn GA-Texte projektive Geometrie berücksichtigen, wo alle physikalischen Größen – Punkte, Linien usw. – unter GL(n,R) transformiert werden, sodass das Skalarprodukt – transformiert unter O(n) – nicht erscheinen kann. Man findet, dass GA-Texte das Keilprodukt nur in Kapiteln über projektive Geometrie verwenden.
@StephenBlake Das ist ein Mangel der projektiven Geometrie, nicht GA. Dorst, Fontijne und Mann haben diesem Thema in ihrem Buch einen ganzen Abschnitt (11.10) gewidmet, in dem beschrieben wird, wie das Punktprodukt von Vektoren in der projektiven Geometrie bedeutungslos ist, aber dies rührt von der Unfähigkeit der projektiven Geometrie her, unter Translationen invariant zu sein. Dieses Problem wird in der konformen Geometrie gelöst, wo Translationen die gleiche Form haben wie Rotationen (bilineare Wirkung von Spinoren auf Vektoren).

Ich würde wirklich das Buch von Frankel , The Geometry of Physics, empfehlen. Er behandelt alle grundlegenden Konzepte der Topologie und Differentialgeometrie, gibt aber klare und detaillierte Anwendungen zur klassischen Mechanik, Elektromagnetismus, GR und QM. Er ist nicht zu formell, entwickelt aber wirklich viele nützliche Werkzeuge unter Verwendung von Differentialformen.

Ein weiteres Buch, das etwas grundlegender ist und sozusagen eine abgespeckte Version des klassischen Lehrbuchs der Mechanik von Arnold ist, ist Geometric Mechanics von Richard Talman . Man kann eine geometrische und eine physikalische Intuition von Differenzformen entwickeln. Hier beschränken sich die Anwendungen meist auf die klassische Mechanik.

Natürlich gibt es noch andere gute Texte, aber das sind wirklich gute Ausgangspunkte.

Ich stimme @Muphrid auch zu, dass die geometrische Algebra eigentlich als Sprache für die moderne Physik anstelle von Differentialformen bevorzugt werden sollte. Es ist viel klarer und vertrauter. Lesen Sie das Buch von Lasenby und Doran und auch die Dissertation von Anthony Lewis auf cosmologist.info, der ein Kapitel hat, das sich nur mit der Übersetzung zwischen Differentialformen und geometrischer Algebra befasst.

Darüber hinaus hat Hestenes einen guten Abschnitt in Clifford Algebra to Geometric Calculus über die Beziehung zwischen Formen und geometrischem Kalkül. Insbesondere zeigt er, wie GC eleganter mit nicht skalaren Formen umgeht.
Danke für den Hinweis auf die Lewis-These. Ich glaube, Frankel ist nicht das Buch, mit dem man anfangen kann. Ich würde das Buch von Flandern empfehlen: Differentialformen mit Anwendungen in den Naturwissenschaften. Gut geschrieben, übersichtlich und günstig. Auch viele Beispiele. Es ist manchmal schwierig, alles zu verstehen, aber es ist ziemlich einfach, von Tensornotationen zu Differentialformen überzugehen.

Dies ist vielleicht nicht genau das, wonach Sie suchen, aber ich werde zwei spezifische Texte empfehlen.

Misner, Thorne und Wheeler, Gravitation , Kapitel 4, 9 und Ende von 14

Solide im Bereich der Physik, aber sie haben dort eine Menge Leckerbissen zur Interpretation.

Choquet-Bruhat und DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds, and Physics , Kapitel IV.C

Ich meine, dieser Text ist unglaublich. Wir sollten alle immer alles lesen. Mehr Mathematik, aber das ist in diesem Fall besser. Auch besser geeignet als nur E/M + Gravity wie MTW. Ein bisschen alt, aber es ist eine nette Notation, um dich einzuarbeiten.

Als vielleicht "weicheren" Buchvorschlag finde ich "The Road to Realty" von Penrose ganz nett, um einen Überblick über viele mathematische Interpretationen der Physik zu bekommen. Außerdem enthält dieses Buch Übungen, sodass Sie, obwohl Sie das Gefühl haben, eine Art Bildband zu kaufen, viel zu tun haben, wenn Sie dazu bereit sind.

Physikalische und geometrische Interpretation von Differentialformen
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