Gibt es eine physikalische Interpretation eines Tensors als Vektor mit zusätzlichen Eigenschaften?

Ich denke, eine sicherere Art, sich einen Tensor auf der Basisebene vorzustellen, besteht darin, ihn als eine Funktion zu betrachten, die eingeht$n$Vektoren und spuckt eine Zahl aus und erfüllt in jedem ihrer Argumente:

Wo$a,b$sind Zahlen und${\vec v}, {\vec w}$sind Vektoren, und die anderen Argumente von$T$werden unterdrückt. Es gibt sicherlich noch weitere Details (über Eins-Formen, Farbverläufe und Koordinatentransformationen), aber das ist die Grundidee.

Mathematiker modellieren Ideen und untersuchen ihre Eigenschaften. In der Mathematik modelliert ein Vektorraum eine Reihe von Dingen, die sich wie kleine Pfeile verhalten, wenn sie addiert und mit Zahlen multipliziert werden.

Die mathematische Definition eines Vektorraums ist eine Menge mit einer Additionsoperation und einer Multiplikation mit Zahlenoperation, die 8 Regeln folgt. Alles, was der Definition entspricht, ist für Mathematiker von Interesse. Zum Beispiel ist die Menge stetiger Funktionen auf dem Intervall [0,1] ein Vektorraum.

Mathematiker entdecken Dinge wie, dass jeder Vektorraum mindestens eine Basis hat. Alle Basen eines gegebenen Vektorraums haben die gleiche Anzahl von Vektoren. Diese Zahl wird Dimension genannt.

Da ein Tensorraum die Definition eines Vektorraums erfüllt, ist er ein Vektorraum.

Physiker stellen oft fest, dass Mathematiker nützliche Werkzeuge erfinden. Aber Physiker sind daran interessiert, das Verhalten des Universums zu modellieren. Sie nutzen die Werkzeuge anders als Mathematiker. Beispielsweise interessieren sie sich oft weniger für mathematische Strenge.

Zum größten Teil verwenden Physiker Vektoren, um Dinge wie Raum oder Impuls zu modellieren. Sie finden Vektoren nützlich, wenn sie eine Norm (oder Metrik oder Länge) haben und alle Komponenten die gleiche Art von Größe sind. Die Vorwärtsrichtung ist der Raum. Seitlich ist Platz.

Wenn alle Komponenten gleich sind, können Sie die Basis ändern und trotzdem den Vektorraum verwenden, um das Universum zu modellieren. Wenn ich nach vorne schaue und du bei 45 Grad nach rechts stehst, können wir beide verwenden$F = ma$.

Aus diesem Grund sind Physiker sehr daran interessiert, wie sich Vektoren transformieren, wenn Sie die Basis ändern.

Und hier unterscheiden sich Tensoren. Tensoren vom Rang 2 transformieren sich anders als Tensoren vom Rang 1. Für Physiker sind sie also andere Objekte.

Beachten Sie nebenbei, dass in der Relativitätstheorie eine der Komponenten anders ist als die anderen. Physiker haben eine nützliche, nicht ganz koschere Metrik definiert. Sie haben herausgefunden, dass man, wenn man die Basis ändert, ein nützliches Modell des Universums aus der Sicht eines Beobachters mit einer anderen Geschwindigkeit erhält.

Abgesehen davon würden Mathematiker den Phasenraum der statistischen Mechanik als Vektorraum betrachten. Aber Physiker interessieren sich nicht sehr für die Vektoreigenschaften des Phasenraums. Sie fügen keine Vektoren hinzu oder ändern die Basis. Sie folgen einfach der Trajektorie eines Punktes, während sich ein System entwickelt.

Wenn Sie antisymmetrische Tensoren wollen, gibt es bekannte geometrische Bausteine. Wenn Sie beispielsweise zwei orthogonale Vektoren nehmen, können Sie sie multiplizieren, um die orientierte Ebene zu erhalten, die sie überspannen (wobei die Ausrichtung durch die Reihenfolge bestimmt wird, in der Sie sie multipliziert haben). Beachten Sie in ähnlicher Weise, dass es für drei zueinander orthogonale Vektoren 6 Möglichkeiten gibt, sie zu multiplizieren, aber da sie paarweise antikommutieren, gibt es nur zwei Orientierungen. In einem (n$n$-dimensionalen Raum können Sie so viele haben wie$n$zueinander orthogonale Vektoren haben also einen Rang$n$Objekt.

Wenn Sie nun in Betracht ziehen möchten, diese höherrangigen antisymmetrischen Dinge zu addieren, können Sie darauf bestehen, dass sich die Addition über die Multiplikation verteilt. Und jetzt müssen Sie eine Wahl treffen, entweder davon ausgehen, dass alle Vektoren antikommutieren (nicht nur die orthogonalen) und verwenden$\wedge$für das Multiplikationssymbol und erhalten eine Grasmann-Algebra. Oder Sie nehmen an, dass ein Vektor, multipliziert mit sich selbst, seine quadrierte Länge ergibt und Sie erhalten eine Clifford-Algebra.

Aber eigentlich habe ich gelogen, weil ich eine Wahl treffen musste, seit wir die benutzt haben$\wedge$Um das antisymmetrische Produkt auf Vektoren zu bezeichnen, können wir beide Produkte haben, da sie auf demselben Ding definiert sind (Linearkombinationen von Produkten orthogonaler Vektoren). Wir können also das Grasmann-Algebra-Produkt und das Clifford-Algebra-Produkt haben und es eine geometrische Algebra nennen. Die Grundbausteine ​​sind die Produkte orthogonaler Vektoren, die wenig orientiert sind 1-Volumen, 2-Volumen, 3-Volumen, ... oder$n$-Volumen. Alles andere ist eine lineare Kombination davon.

Tensoren enthalten jedoch symmetrische Tensoren, sodass Sie diese Tensoren nicht als geometrische Objekte erhalten. Sie müssen sich also möglicherweise den gesamten Raum der Tensoren als multilineare Funktionen auf Vektoren vorstellen.

Bei der Einführung des Spannungstensors für Ingenieure im Grundstudium bemerke ich, dass, wenn ein Körper durch einen Spannungszustand verformt wird und wir uns vorstellen, dass er von einer Ebene geschnitten wird, ein (Kraft-) Vektor über die Ebene (aber nicht senkrecht zu ihr) wirkt . Um den Spannungszustand vollständig zu spezifizieren, müssen Sie den Körper mit drei Ebenen schneiden, von denen jede durch ihren Normalenvektor spezifiziert werden kann. Spannung ist also etwas, das einen Komponentenvektor hat, der jeder Richtung im Raum zugeordnet ist. Dieses 'etwas' ist ein Tensor (2. Ordnung).

Zusamenfassend:

...ein Vektor hat eine skalare Komponente (in Ermangelung eines besseren Wortes) in jeder Raumrichtung

...ein Tensor (2. Ordnung) hat einen Komponentenvektor, der jeder Raumrichtung zugeordnet ist

Alternative:

...ein Vektor hat Betrag und Richtung

...ein Tensor hat Größe(n) und zwei Richtungen (eine für den Komponentenvektor und eine für die Ebene).

Ich finde, dass dies ein besseres physikalisches Bild gibt als das „etwas, das sich gemäß … transformiert“ oder „eine Abbildung zwischen …“ der Mathematiker. Das mache ich später.

Gibt es eine physikalische Interpretation eines Tensors?

Aus geometrischer Sicht und unter Berücksichtigung der Dualität zwischen (1, 2, 3 ...) -Formen und (1, 2, 3 ...) -Vektoren ist zu beachten, dass eine Eins-Form (Rang 1 Kovariante Tensor) kann man sich als eine Reihe von Flächen vorstellen, die bei Kontraktion mit einem Vektor eine Zahl ergeben; wobei die Zahl die Anzahl der vom Vektor durchbohrten Flächen ist.

Auf höhere Ränge verallgemeinert, kann man sich eine Zweierform als eine „wabenartige“ Struktur vorstellen, die eine Zahl erzeugt, wenn sie mit einer Oberfläche mit einem Gefühl der Zirkulation zusammengezogen wird; die Zahl ist die Anzahl der Rohre, die die Oberfläche durchdringen.

Eine Dreierform kann man sich als eine „Eierkiste“-ähnliche Struktur vorstellen, die eine Zahl erzeugt, wenn sie mit einem Volumen zusammengezogen wird; die Zahl ist die Anzahl der Zellen innerhalb des Volumens.

Dies ist im Wesentlichen auf den Seiten 115 - 117 von MTWs „ Gravitation “ dargelegt. Zum Beispiel:

Tensoren sind eine Klasse von Objekten, die sowohl Skalare als auch Vektoren umfasst.

Es gibt Rangtensoren$n$das sind Objekte mit einer Magnitude und$n$orthogonale Richtungen, bestehend aus$3^n$Komponenten. Beispiele hierfür sind der Vektor selbst, die Dyade (bestehend aus Vektoren) oder die Triade (bestehend aus Dyaden), die Tetrade...

Physikalisch gesehen ist ein Tensor nur eine Sammlung von Vektoren, die Physiker als einzelnes Objekt untersuchen, weil die Vektoren auf physikalisch "interessante" Weise miteinander in Beziehung stehen.

Tensoren besitzen keine zusätzlichen Eigenschaften zu den Vorstellungen von Größe und Orientierung eines Vektors; man kann nur bestimmten Anordnungen von Vektoren bestimmter Tensoren einen Vektor zuordnen.