Zeigen Sie, dass der parallele Transport den Winkel zwischen ihnen nicht ändert - Tensoren [geschlossen]

Question

Zeigen Sie, dass der parallele Transport den Winkel zwischen ihnen nicht ändert - Tensoren [geschlossen]

Roshan Shrestha

Ich muss Ihnen sagen, dass ich diese Art von Frage in der Tensoranalyse noch nie gesehen habe. Unser Professor hatte diese Frage in unserer Prüfung aufgestellt, aber ich weiß nicht, ob sie zu Tensoren gehört oder nicht. Die Frage geht so:

1. Wenn ein Vektor $u^{i}$ wird dann entlang einer Kurve S parallel transportiert
$u^{ich}_{; J} \frac{D X^{J}}{D S} = 0.$ $u^{i}{}_{; j}~ \frac{dX^{j}}{dS}~=~0.$ 2. Wenn der Winkel zwischen $u^{i}$ Und $v^{j}$ Ist $\theta$ , zeigen, dass der parallele Transport den Winkel zwischen ihnen nicht ändert.

ACuriousMind

Ihre Notation erscheint mir etwas ungewöhnlich, insbesondere der Teil mit dem

d X / d S

$\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . Ist es ein Vektorfeld? Bitte präzisieren Sie Ihre Frage etwas.

Roshan Shrestha

Das war wirklich auch für mich das Problem, zuallererst, gibt es irgendwelche Fehler in meiner Frage ... Sogar ich habe Mühe, die Frage zu verstehen

ACuriousMind

Auch in Bezug auf welche Verbindung transportieren wir parallel (Levi-Civita kommt mir natürlich in den Sinn)?

Roshan Shrestha

Ich möchte diese Frage wie folgt umformulieren: Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren bei Parallelverschiebung und Paralleltransport unverändert bleibt oder sich nicht ändert.

Antworten (1)

Zeigen Sie, dass der parallele Transport den Winkel zwischen ihnen nicht ändert - Tensoren [geschlossen]

Ihre Notation erscheint mir etwas ungewöhnlich, insbesondere der Teil mit dem $\mathrm{d}X/\mathrm{d}S$ . Ist es ein Vektorfeld? Bitte präzisieren Sie Ihre Frage etwas.
Das war wirklich auch für mich das Problem, zuallererst, gibt es irgendwelche Fehler in meiner Frage ... Sogar ich habe Mühe, die Frage zu verstehen
Auch in Bezug auf welche Verbindung transportieren wir parallel (Levi-Civita kommt mir natürlich in den Sinn)?
Ich möchte diese Frage wie folgt umformulieren: Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren bei Parallelverschiebung und Paralleltransport unverändert bleibt oder sich nicht ändert.

Auxsvr · Answer 1

Ein Vektor $u^a$ entlang der Integralkurve des Tangentenvektors parallel transportiert wird $V^a \equiv \frac{dX^a}{d s}$ wenn wir haben $V^a\nabla_a u^b =0$ (ein in Bezug auf sich selbst parallel transportierter Vektor definiert eine Geodäte). Der Winkel zwischen zwei Vektoren $v^a$ Und $u^a$ wird von gegeben $\cos\theta = \frac{v^a u_a}{\sqrt{v^av_a u^bu_b}}$ , also nehmen wir:

v^{A} \nabla_{A} (u^{B} v_{B}) = v_{B} v^{A} \nabla_{A} u^{B} + v^{A} u^{B} \nabla v_{B} = 0,

$V^a \nabla_a (u^b v_b) = v_bV^a \nabla_a u^b+ V^a u^b \nabla v_b = 0,$ seit den Vektoren

v^{a}

$v^a$ Und

u^{a}

$u^a$ bzgl. parallel transportiert werden

V^{a}

$V^a$ . Seit

V^{a} \nabla_{a} (u^{b} u_{b}) = 0

$V^a \nabla_a (u^b u_b) = 0$ aus dem gleichen Grunde,

θ

$\theta$ entlang der Integralkurve von konstant bleibt

V^{a}

$V^a$ .

Es tut mir leid, aber ich bin ziemlich verloren in den Symbolen, die hier verwendet werden. Könnten Sie mir die Referenzen oder Links geben, um sie selbst weiter zu studieren.
Ich benutze $\nabla_a$ anstatt ${}_{;a}$ Und $s$ ist der affine Parameter von $X^a$ .
Vielen Dank, alle Referenzen oder Links, die ich weiter untersuchen kann, da ich kein Student von GR bin und aufrichtig von Grund auf etwas darüber lernen möchte, obwohl ich über fundierte Kenntnisse über Tensoren verfüge, zumindest auf Grundniveau
Wenn Sie Google verwenden, gibt es viele Vorlesungsunterlagen zu GR, aber sie erfordern ein Verständnis von Analysis, linearer Algebra, Mechanik, Differentialgeometrie, Differentialgleichungen usw.

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Roshan Shrestha

ACuriousMind

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