Warum liegt in GR ein Schwerpunkt auf Tensorgleichungen?

Es gibt koordinatenunabhängige Objekte, die keine Tensoren sind.

Verbindungen, Dichten, Spinoren, Abschnitte von Faserbündeln im Allgemeinen usw.

Tensoren sind es jedoch

• bezogen auf die Mannigfaltigkeitsgeometrie (kontrastieren Sie dies mit Abschnitten eines beliebigen Vektorbündels)

• haben eine lineare Richtungsabhängigkeit.

Ich werde dies mit demselben Beispiel veranschaulichen, das Wald in seinem GR-Buch verwendet. Stellen Sie sich ein Magnetfeld vor$B$Raum durchdringen. Sie haben einen Detektor, der das Magnetfeld in der Richtung misst, in die die Detektorsonde zeigt. Wie misst man das Magnetfeld an einem Punkt?$x$?

Sie wählen und zeichnen drei linear unabhängige Sondenorientierungen auf. Da die Sonde wahrscheinlich in allen Richtungen die gleichen Einheiten verwendet und die gleiche Empfindlichkeit hat, können alle drei Orientierungen als Einheitsvektoren angesehen werden.

Lass die drei Richtungen sein$e_1,e_2$Und$e_3$. Sie nehmen die drei Messungen vor, diese geben die Werte zurück

Wie Sie sehen können, spielt das Magnetfeld hier die Rolle eines Covektors anstelle eines Vektors. Daraus lässt sich das Magnetfeld wie folgt zusammensetzen

Der metrische Tensor ist

Der Magnetfeldvektor ist gegeben durch$\sharp B=g^{1i}B_ie_1+g^{2i}B_ie_2+g^{3i}B_ie_3$, die Größe ist gegeben durch$||B||=g^{ij}B_iB_j$usw.

Wenn nun, anstatt eine lineare Abhängigkeit von Richtungen zu haben,$B$war eine willkürliche glatte Funktion$B:T_xM\rightarrow\mathbb{R}$, dann bräuchten Sie unendlich viele Messungen (in unendlich vielen Richtungen), um es an einem Punkt zu rekonstruieren.

Offensichtlich verhalten sich diese "richtungsabhängigen" Größen in der Physik so, dass man nicht unendlich viele Messungen braucht, um sie an einem Punkt zu messen. Wenn sie es täten, würde die Physik, wie wir sie kennen, nicht existieren! Der Grund, warum wir Tensoren verwenden, ist, dass Physik messbar ist.

Gute Frage, die in der Physikliteratur bei der Einführung des Tensortransformationsgesetzes nicht häufig behandelt wird.

Versuchen Sie, es sich geometrisch vorzustellen: Nehmen Sie ein einfaches Beispiel, indem Sie die Oberfläche einer Kugel zu einem Ellipsoid verformen; wenn wir einen kleinen (dh infinitesimalen) Fleck des Balls nehmen und sehen, wie er sich transformiert, sehen wir, dass es eine multilineare Abhängigkeit gibt; Dieses Beispiel kann auf beliebige Mannigfaltigkeiten in jedem kartesischen Raum verallgemeinert werden, und wir können mit etwas Überlegung auch die Einbettung fallen lassen.

Eine multilineare Transformation wird allgemein durch Tensoren charakterisiert, und dann erhalten wir durch das Nehmen von Basen die übliche Koordinatentransformationseigenschaft, die Tensoren charakterisiert, die in der physikalischen Literatur üblich sind.

Die beste Referenz, die ich dafür gesehen habe, ist Lees Buch über Differentialgeometrie und Dodsons Tensor Geometry, obwohl er dazu neigt, eine eigenwillige Terminologie zu verwenden.

Tensoren allein stellen nicht sicher, dass eine Formel in allen Koordinatensystemen korrekt ist. Navier-Stokes-Gleichungen können beispielsweise in Tensorform geschrieben werden, sind aber nicht koordinatenunabhängig. Was Sie tatsächlich brauchen, ist die kovariante Ableitungseigenschaft. Die Tensorform hingegen wird benötigt, um Spannungen auf einer Fläche zu beschreiben. Um beispielsweise die Schubspannung auf einer Fläche zu beschreiben, benötigt man einen in der Fläche liegenden Vektor zur Beschreibung der Kraft auf dieser Fläche mit Betrag und Richtung. Aber dann braucht man einen weiteren Vektor, um die Lage und Orientierung der Oberfläche selbst zu beschreiben – daher die beiden Indizes des Tensors zweiter Ordnung.