Kovariante Ableitung und Leibniz-Regel

Question

Kovariante Ableitung und Leibniz-Regel

achtundfünfzig

Ich habe die Wikipedia-Seite über die kovariante Ableitung gelesen, mein Hauptproblem liegt in diesem Teil:

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Coordinate_description

Einige der Formeln scheinen zu Widersprüchen zu führen, ich nehme an, ich mache einige Fehler.

Hier sind einige Formeln von dieser Seite.

Sie definieren die kovariante Ableitung in Richtung $\mathbf e_j$ , bezeichnet $\nabla_{\mathbf e_j}$ oder $\nabla_j$ so dass:

$\nabla_{\mathbf e_j} \mathbf e _i = \nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Und definiere es so, dass es der Leibniz-Regel gehorcht.

Das zeigen sie dann weiter

Kovariante Ableitung

Wo es scheint, dass sie verwendet werden

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i}$

Aber später definieren sie hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative#Notation

$\nabla_{\mathbf e_i} u^j = \frac {\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{\ \ ki}$

1) Ist das ein Missverständnis von mir oder ein Problem in Wikipedia?

Auch anstelle der Definition:

$\nabla_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Ich habe an anderen Stellen die so definierten Christoffel-Symbole gesehen

$\partial_j \mathbf e _i = \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

2) Ist die kovariante Ableitung von Basisvektoren dieselbe wie die reguläre Ableitung eines Basisvektors oder sind dies nur zwei unterschiedliche Definitionen der Christoffel-Symbole?

Ein weiterer Widerspruch, den ich gesehen habe, ist, dass sie die folgende Formel schreiben:

am Ende des Abschnitts "Koordinatenbeschreibung"

wobei Sie hier für jeden oberen Index ein Gamma addieren und für jeden unteren Index ein Gamma gemäß der dort geschriebenen Regel subtrahieren.

Demnach scheint mir:

$\nabla_j \mathbf e _i = \partial_j \mathbf e _i - \Gamma^k_{\ \ ij}\mathbf e_k$

Was auch nicht damit übereinstimmt, wie sie die kovariante Ableitung definiert haben

3) Ist das ein Widerspruch oder eine Verwirrung von mir?

Vielen Dank, tut mir leid, dass es so lang geworden ist

Wenn es ein Problem ist, kann ich die Frage in zwei Fragen oder so etwas aufteilen

David z

Normalerweise haben wir gerne nur eine Frage pro Post, aber diese sind so eng miteinander verbunden, dass es wahrscheinlich in Ordnung ist, sie zusammen zu lassen.

Antworten (1)

Kovariante Ableitung und Leibniz-Regel

Normalerweise haben wir gerne nur eine Frage pro Post, aber diese sind so eng miteinander verbunden, dass es wahrscheinlich in Ordnung ist, sie zusammen zu lassen.

Benutzer10851 · Answer 1

1) Die Verwirrung entsteht durch das Weglassen von Klammern in diesen Notationen. Im ersten Fall haben wir es tatsächlich

\nabla_{{\vec{e}}_{ich}} (u^{J}) = \frac{\partial u^{J}}{\partial X^{ich}},

$\nabla_{\vec{e}_i}(u^j) = \frac{\partial u^j}{\partial x^i},$ seit

u^{j}

$u^j$ ist nur eine unspezifische Komponente von

\vec{u}

$\vec{u}$ . Im zweiten Fall meinen sie, die Komponente nach dem Differenzieren des Tensors zu nehmen:

u^{J}_{; ich} = (\nabla_{{\vec{e}}_{ich}} \vec{u})^{J} = \frac{\partial u^{J}}{\partial X^{ich}} + u^{k} Γ_{k ich}^{J} .

$u^j{}_{;i} = (\nabla_{\vec{e}_i} \vec{u})^j = \frac{\partial u^j}{\partial x^i} + u^k \Gamma^j_{ki}.$ Ich verwende Pfeile anstelle von Roman-Schrift, um Vektoren anzuzeigen, um hervorzuheben, welche Dinge vollständige Vektoren sind (die Indizes haben können, z

{\vec{e}}_{i}

$\vec{e}_i$ ist der

i

$i$ -ten Vektor in Ihrer Basis) und welche Dinge Komponenten sind.

2) Es sollte nur einen Satz von Christoffel-Symbolen geben. In welchem Kontext war das die Definition?

Außerdem reduzieren sich kovariante Ableitungen auf Skalare auf partielle Ableitungen .

3) Die Verwirrung hier kommt von der Verwendung von $i$ In $\vec{e}_i$ als Etikett, auf dessen Grundlage der Vektor verwendet wird, und nicht darauf, welche Komponente eines gegebenen Vektors vorhanden ist. Denk an $\vec{e}_i$ als ein Symbol, wie z $\hat{x}$ oder $\hat{y}$ . (Dies wird durch die Roman- im Gegensatz zur Kursivschrift in der Frage angezeigt, die ich wiederum in einen Pfeil geändert habe, um die Aufmerksamkeit auf die Vektornatur des Symbols zu lenken.) Wir verwenden niedrigere Indizes, damit sie die oberen nicht stören hochgestellte Zeichen, die die Komponenten beschriften würden. Das ist, $\vec{e}_i$ hat Komponenten $e_i^0$ , $e_i^1$ , usw. Als Objekt, dessen Komponenten mit oberen Indizes indiziert sind, verwendet man einen positiven Christoffel-Term:

(\nabla_{J} {\vec{e}}_{ich})^{k} = \partial_{J} e_{ich}^{k} + Γ_{J l}^{k} e_{ich}^{l} .

$(\nabla_j \vec{e}_i)^k = \partial_j e_i^k + \Gamma^k_{jl} e_i^l.$ Beachten Sie, dass

e_{i}^{k} = δ_{i}^{k}

$e_i^k = \delta_i^k$ , die eine Konstante ist und daher eine verschwindende partielle Ableitung hat. Das Zusammenziehen des Christoffel-Symbols mit dem Kronecker-Delta im zweiten Term verlässt nur

Γ_{j i}^{k}

$\Gamma^k_{ji}$ , wie erwartet.

zu Frage 2, es war online in einem Videovortrag, den ich Sie nicht durchsitzen lassen werde, es sei denn, Sie sind interessiert, ich habe ihn auch in einem Forumsbeitrag im Physik-Forum gesehen, als ich bei Google nach einer Antwort darauf gesucht habe, hier ist den Beitrag: physicalforums.com/showpost.php?p=3991829&postcount=3
Ein weiterer Grund, warum diese Definition für mich sinnvoll ist, ist, dass es bei der ersten Ableitung, die ich angezeigt habe, so aussieht, als würde sich die kovariante Ableitung beim Einwirken wie die reguläre Ableitung verhalten $u^j$ , genau wie Sie in Antwort 1 geschrieben haben, ich verstehe nicht, warum das so ist, ich verstehe nicht, was Sie damit meinen $u^j$ ist eine "unspezifische Komponente"
@fiftyeight Dieser Forumsbeitrag wäre korrekt, wenn alle Teiltöne durch kovariante Ableitungen ersetzt würden. Der Autor arbeitet mit (nicht standardmäßiger) Notation, in der Ableitungen von Vektoren als kovariant verstanden werden und nicht der Vektor von partiellen Ableitungen der Komponenten. Denken Sie jedoch daran, dass wir verlangen, dass die kovariante Ableitung mit der partiellen Ableitung übereinstimmt, wenn wir auf Skalare einwirken, also $\partial_\alpha (A^i) = \nabla_\alpha (A^i)$ stets.
@fiftyeight Zur Verdeutlichung Ihres zweiten Kommentars: Ja, die kovariante und partielle Ableitung von $u^j$ sind gleich. Mit "unspezifische Komponente" meinte ich $u^j$ könnte eine der vier Skalarkomponenten von sein $\vec{u}$ , und welcher es ist, hängt davon ab, welchen Term in der impliziten Summe Sie betrachten.
Was die Frage betrifft, warum die beiden Ableitungen dazu gebracht werden, sich auf Skalare zu einigen, lautet meine Antwort, dass dies eine gewünschte Eigenschaft der kovarianten Ableitung ist, die wir erzwingen, genau wie die Linearität und die Einhaltung der Leibniz-(Produkt-)Regel. (Vielleicht hat jemand einen aufschlussreicheren Grund.) Diese Eigenschaften, zusammen mit ein paar anderen Eigenschaften, die sich auf Kontraktionen und Ableitungen der Metrik beziehen, definieren eindeutig die kovariante Ableitung, die wir in Standard-GR verwenden.
OK danke, letzte Sache, wenn ich darf, ich verstehe nicht wirklich warum $u^j$ Hier ist ein Skalar, soweit ich weiß, sind Skalare Objekte, die sich beim Ändern der Koordinaten nicht transformieren. nicht $u^j$ als kontravarianten Vektor transformieren?
Guter Fang. Mit „Skalar“ meine ich hier „Einkomponenten-Entität“ oder noch besser „Abbildung von der Mannigfaltigkeit zu den Realen“. Tatsächlich die $j$ -te Komponente eines Vektors ändert sich bei Änderung der Koordinaten. In jedem festen Koordinatensystem gilt $u^j$ (für fest $j$ ) ist nur eine reellwertige Funktion Ihrer Mannigfaltigkeit, und bei solchen Objekten möchten wir, dass die beiden Ableitungen übereinstimmen.

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