Poisson-Klammern in der gekrümmten Raumzeit

Es ist schon einige Zeit her, seit du das gefragt hast, aber ich werde es versuchen.

Die größten Probleme in der gekrümmten Raumzeit bestehen darin, genau zu definieren, was Sie mit einem Hamilton-Operator und was Sie mit einer Poisson-Klammer meinen.

Nehmen wir an, Sie haben es mit einem echten Skalarfeld zu tun$\phi$was einige Aktionen minimiert

$$W = \int_{\mathcal{M}}\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi,x) d^4 x$$

Dies ist die Integration einer skalaren Dichte-Lagrange-Funktion$\mathcal{L}$über einen Verteiler$\mathcal{M}$. Von hier aus haben Sie eine Reihe von Optionen: Sie können versuchen, den Verteiler in Oberflächen zu folieren$\Sigma(t)$und erhalten Sie einen bestimmten Impuls, Hamiltonian und Poisson-Klammer, die durch Mengen auf diesen Oberflächen definiert sind ... oder Sie können sagen, dass Sie sich noch nicht auf eine Folierung festlegen möchten. Für jede Cauchy-Oberfläche$\Sigma$wir können ein Momentum definieren$\pi_\Sigma:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}$als skalare Dichte

$$\pi_\Sigma = n_\mu\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

Wo$n_\mu$ist die zukunftsweisende Normale von$\Sigma$. Wir haben die Euler-Lagrange-Gleichungen

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_\mu \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}$$

(beachten Sie das$\partial_\mu$entspricht der Verwendung von a$\nabla_\mu$hier, weil die kovariante Divergenz einer Dichte gleich der Koordinatendivergenz ist).

Der Platz aller Felder, die minimiert werden$W$, nennen$\mathscr{V}_W$, ist ein unendlichdimensionaler Raum, aber nicht unbedingt ein Banachraum - insbesondere wenn die Bewegungsgleichungen nicht linear sind$\phi$(das heißt, wenn die Lagrange-Funktion nicht quadratisch ist). Wir nehmen an, dass es für dieses einfache Beispiel quadratisch ist, aber im Allgemeinen müssten Sie den Raum anzeigen$\mathscr{V}_W$als unendlichdimensionale Mannigfaltigkeit, und definieren Sie Dinge wie die symplektische Form auf den tangentialen Banachräumen dieser Mannigfaltigkeit.

Wenn die Mannigfaltigkeit bestimmte Hyperbolizitätsanforderungen erfüllt, dann sind die Werte von zu kennen$\phi$und seine Dynamik$\pi_\Sigma$auf einer Cauchy-Fläche$\Sigma$erlaubt uns, die Bewegungsgleichungen zu integrieren und zu bestimmen$\phi$auf den ganzen Krümmer. Also für eine gegebene Oberfläche$\Sigma$,$\phi$Und$\pi_\Sigma$fungieren als Koordinaten für unsere unendliche Mannigfaltigkeit$\mathscr{V}_W$.

Nun, um eine Poisson-Klammer zu haben, brauchen Sie eine symplektische Form$\omega:\mathscr{V}_W\times\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$. Diese muss nicht entartet und antisymmetrisch sein. Es stellt sich heraus, dass für jede Oberfläche$\Sigma$,

$$\omega[\phi_1,\phi_2] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}(\phi_1 \pi_{\Sigma,2} - \phi_2 \pi_{\Sigma,1})d^3 x$$

Wo$G_\Sigma$ist die Determinante der 3-Metrik auf$\Sigma$Und$g$ist die Determinante der 4-Metrik auf$\mathcal{M}$, ist eine solche Form. Sie ist unabhängig von der Oberfläche$\Sigma$der Integration , die durch Verwendung des Satzes von Stokes und Anwendung der Bewegungsgleichungen ersichtlich ist.

Also der Wert der symplektischen Form$\omega(\phi_1,\phi_2)$für zwei Felder ist unabhängig davon, wie wir uns für die Folierung entscheiden.

Lassen Sie uns nun zu unserer früheren Aussage über zurückkehren$\phi$Und$\pi_\Sigma$Koordinaten sein. Das heißt, wenn ich etwas wirklich Funktionales habe$\mathcal{F}[\phi]$, kann ich eine Ableitung in Bezug auf diese beiden Koordinatensätze definieren. Insbesondere bei einem bestimmten Feld$\phi\in\mathscr{V}_W$, gibt es eine Variationsableitung$\delta \mathcal{F}_\phi:\mathscr{V}_W\rightarrow\mathbb{R}$das ist eine lineare Karte und kann geschrieben werden als

$$\delta\mathcal{F}_\phi[\psi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\psi(x) + \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\pi_{\Sigma,\psi}(x)\right) d^3 x$$

Auf die gleiche Weise, wie symplektische Formen mit Ableitungen auf endlichen symplektischen Mannigfaltigkeiten kombiniert werden, um eine Poisson-Klammer zu erhalten (ich werde hier nicht den ganzen Vorgang wiederholen; es wird spät und ich brauche etwas Schlaf :-) ), können wir jetzt die Poisson definieren Klammer zweier Funktionale$\mathcal{F},\mathcal{G}$als

$$\{\mathcal{F},\mathcal{G}\} = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\frac{\delta \mathcal{F}}{\delta\phi(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\pi_\Sigma(x)} - \frac{\delta\mathcal{F}}{\delta\pi_\Sigma(x)}\frac{\delta \mathcal{G}}{\delta\phi(x)}\right) d^3 x$$

Ist wie$\omega$, ist unabhängig von der Integrationsfläche (die direkt aus folgt$\omega$Unabhängigkeit).

Okay. So haben wir bisher sehr viel gemacht ohne irgendwelche Folierungen oder Koordinaten am Krümmer zu fixieren. Das ist nett. Um ein strenges Analogon der Hamiltonschen Formel zu erhalten, müssen wir jedoch eine gewisse Blattbildung wählen. Stattdessen können wir uns ein allgemeineres Beispiel ansehen. Lassen$\xi^\mu$ein Vektorfeld sein, das eine Verformung der Mannigfaltigkeit darstellt; das heißt, wir verschieben Koordinaten und transformieren die Felder als

$$x^\mu \mapsto x^\mu + \epsilon\xi^\mu$$ $$\phi \mapsto \phi - \epsilon\xi^\mu\partial_\mu\phi$$

Wo$\epsilon$eine sehr kleine Zahl ist (die Impulstransformation ist komplizierter, da$\xi^\mu$könnte Oberflächen in andere Oberflächen ziehen, was bedeutet, dass wir zwischen verschiedenen Impulsfunktionen wechseln. Auch hier werde ich erstmal faul sein und das weglassen). Außerdem beschränken wir uns auf Felder$\xi^\mu$die die Aktion invariant lassen. Jetzt können wir den Satz von Noether anwenden!

Definiere das Funktionale

$$H_\xi[\phi] = \int_\Sigma \sqrt{-\frac{G_\Sigma}{g}}\left(\pi_\Sigma \delta_\xi \phi - n_\mu \xi^\mu \mathcal{L}\right)d^3 x$$

Wo$\delta_\xi \phi = - \xi^\mu \partial_\mu \phi$. Dieses Funktional bleibt erhalten (unabhängig von$\Sigma$) nach dem Satz von Noether. Dann ist es (wieder verschlafen, kein Beweis) so

$$\{\phi,H_\xi\} = \xi^\mu \partial_\mu \phi$$

Das ist das Analogon der gekrümmten Raumzeit zu Ihrer Frage.