Wann erben die Poisson-Klammern der Phasenraumfunktionen die Lie-Algebra-Struktur einer Symmetrie?

Die Grundidee ist folgende. Der Einfachheit halber gehe ich fortan davon aus, dass nicht jede Funktion explizit von der Zeit abhängt (mit ein wenig Aufwand ließe sich alles verallgemeinern, indem man sich mit einem geeigneten Faserbündel über der Zeitachse befasst, dessen Fasern zeitliche Phasenräume sind$t$). Auf einer Symplektik$2n$dimensionale Mannigfaltigkeit (ein Raum von Phasen),$(M, \omega)$, wo$\omega$die symplektische 2-Form ist, definieren Sie zunächst das Hamilton-Vektorfeld$X_f$einer glatten Funktion zugeordnet$f: M \to \mathbb R$als eindeutiges Vektorfeld, so dass:

$$\omega(X_f, \cdot) = df\:.\tag{1}$$ Die Definition ist gut gestellt, weil$\omega$ist nicht durch Hypothesen entartet.$\omega$ist ebenfalls antisymmetrisch und durch Hypothesen abgeschlossen, also aufgrund eines Satzes von Darboux, auf einem geeigneten Atlas, der immer existiert$\omega = \sum_{i=1}^n dq^i \wedge dp_i$. In diesem Bild stellen Sie den Standard wieder her$q-p$Formulierung der Hamiltonschen Mechanik.

Als nächstes haben Sie die Poisson-Klammer von zwei glatten Funktionen definiert als

$$\{f, g\}:= \omega(X_f,X_g)\:.\tag{2}$$

Die (im Allgemeinen lokale) einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen, die erzeugt wird durch$X_f$stellt sich als aus kanonischen Transformationen im Standardsinn der Hamilton-Mechanik heraus.$f$soll der Hamiltonsche Generator dieser Transformation sein. Unter Verwendung des Atlas von Darboux, dh Koordinaten,$q^1,\ldots, q^n, p_1,\ldots, p_n$, nehmen sowohl Hamilton-Gleichungen als auch Poisson-Klammern die den Physikern vertrautere Standardform an.

Wenn$H$ist eine bevorzugte Funktion$f$genannt die Hamiltonsche Funktion , die integralen Linien von$X_H$sind nichts anderes als die Lösung von Hamilton-Gleichungen.

Mit dieser Definition stellt sich heraus, dass, wenn$[\:.,\:.]$ist der Standardkommutator von Vektorfeldern,

$$[X_f,X_g] = X_{\{f,g\}}\:.\tag{3}$$

Als unmittelbare Folge von (3) sehen Sie, dass wenn$\{f,H\}=0$, dann die integralen Linien von$X_H$bleibt integrale Linien von$X_H$auch unter der Aktion der Gruppe generiert durch$X_f$. In diesem Fall haben Sie eine dynamische Symmetrie. Außerdem gilt aus (1) und (2),

$$X_H(f) = \{f,H\}$$ so dass$\{f,H\}=0$impliziert das auch$f$ist unter dem Hamiltonschen Fluss unveränderlich, dh es ist eine Bewegungskonstante .

Die Tatsache, dass$f$eine Bewegungskonstante ist und (kanonische) Transformationen erzeugt, die die Entwicklung des Systems bewahren, sind äquivalente Tatsachen.

Diese fantastische Äquivalenz gilt nicht innerhalb der Lagrangeschen Formulierung der Mechanik.

Nehmen Sie in diesem Szenario an, dass die$N$dimensionale Lie-Gruppe$G$frei wirkt$M$in Bezug auf Diffeomorphismen bijektiv. Die Ein-Parameter der Gruppe definieren entsprechende Ein-Parameter-Gruppen von Diffeomorphismen, deren Erzeuger die gleiche Lie-Algebra wie die von haben$G$. Also wenn$e_1,\ldots, e_n$ist eine Grundlage von$\mathbb g$(die Lie-Algebra von$G$), mit

$$[e_i,e_j] = \sum_{k=1}^N c^k_{ij}e_k$$ finden Sie entsprechend für die zugehörigen Vektorfelder die entsprechenden einparametrigen Gruppen von Diffeomorphismen $$[X_i,X_j] = \sum_k c^k_{ij}X_k\:.$$

Nehmen wir schließlich an, dass jeder$X_i$kann geschrieben werden als$X_{f_i}$für eine entsprechend glatte Funktion$f_i : M \to \mathbb R$. In diesem Fall wird die Ein-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen erzeugt durch$X_f$ist eine Ein-Parameter-Gruppe von kanonischen Transformationen . (Dies geschieht automatisch, wenn die Aktion von$G$behält die symplektische Form bei.) Folglich

$$X_{\{f_i,f_j\}} = [X_{f_i},X_{f_j}] = \sum_k c^k_{ij}X_{f_k}\:.$$ Unter Verwendung der Tatsache, dass die Poisson-Bremsen bilinear sind: $$X_{\{f_i,f_j\} - \sum_k c^k_{ij}f_k} =0$$ und damit seit$f \mapsto X_f$ist injektiv bis eine additive Konstante zu$f$, $$\{f_i,f_j\} = q_{ij} +\sum_k c^k_{ij}f_k$$ die Konstanten$q_{ij}$im Allgemeinen erscheinen, irgendwann (wie es passiert, wenn$G=SO(3)$) Sie können sie in der Definition der wieder aufnehmen$f_i$die wiederum bis auf additive Konstanten definiert sind. (Es ist ein kohomologisches Problem, abhängig von$G$).

In dieser Antwort betrachten wir eine Lie-Algebra $L$(eher als eine Lie-Gruppe ). Dann:

1. Wenn$M$eine Mannigfaltigkeit ist, sei ein Lie-Algebra-Homomorphismus vorhanden

   $$L~~\stackrel{\rho}{\longrightarrow}~~ \Gamma(TM)\tag{1}$$ in die Lie-Algebra von Vektorfeldern ein$M$. Die Karte$\rho$heißt Anker .

2. Wenn der Verteiler$(M,\{\cdot,\cdot\}_{PB})$eine Poisson-Mannigfaltigkeit ist, ist es natürlich zu verlangen, dass die Vektorfelder$X\in {\rm Im}(\rho)$Erhaltung der Poisson-Struktur

   $${\cal L}_X\{f,g\}_{PB}~=~ \{{\cal L}_Xf,g\}_{PB}+\{f,{\cal L}_Xg\}_{PB}.\tag{2}$$

3. Beachten Sie, dass die Poisson-Algebra $(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})$von glatten Funktionen auf einer Poisson-Mannigfaltigkeit ist eine unendlichdimensionale Lie-Algebra.

4. Beachten Sie, dass die Karte
   

   $$\begin{align} C^{\infty}(M)~\ni ~h~~\mapsto~ X_h~\equiv~&\{h,\cdot\}_{PB}\cr~\in~&\Gamma(TM) \end{align}\tag{3}$$ von glatten Funktionen zu Hamiltonschen Vektorfeldern ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus $$(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB})~~\longrightarrow~~(\Gamma(TM),[\cdot,\cdot]_{LB}). \tag{4}$$ Hamiltonsche Vektorfelder bewahren automatisch die Poisson-Struktur von Punkt 2.

5. Fordern wir zusätzlich, dass alle Vektorfelder$X\in {\rm Im}(\rho)$sind Hamiltonsche Vektorfelder $X_h$.

6. Beachten Sie, dass die Wahl des Hamilton-Operators$h\in C^{\infty}(M)$für ein Hamiltonsches Vektorfeld$X$ist nicht einzigartig. [Für eine zusammenhängende symplektische Mannigfaltigkeit , der Hamiltonoperator$h$ist bis auf eine Konstante eindeutig.]

7. Nehmen wir weiter an, dass es eine lineare Abbildung gibt

   $$L ~\ni~\xi~~\stackrel{\tilde{\mu}}{\mapsto}~~h_{\xi}~\in~C^{\infty}(M)\tag{5}$$ das macht das folgende Diagramm kommutativ $$\begin{array}{ccc} L & ~\stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow} & C^{\infty}(M) \cr &\rho \searrow~ & \downarrow X \cr && \Gamma(TM), \end{array}\tag{6}$$ dh $$\forall \xi~\in~L:~~ \rho(\xi)~=~X_{h_{\xi}}.\tag{7}$$

8. Das kann man auf der Karte zeigen

   $$\begin{align} \Lambda^2L ~\ni~\xi_1\wedge\xi_2~~\stackrel{P}{\mapsto}~&~ \{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}~\cr \equiv~&X_{h_{\xi_1}}[h_{\xi_2}] \cr~\in~&C^{\infty}(M)\end{align}\tag{8}$$ ist dann ein Zweirad $$\begin{align}\sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}& P([\xi_1,\xi_2]\wedge\xi_3)\cr ~\stackrel{(8)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{h_{[\xi_1,\xi_2]}}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\rho([\xi_1,\xi_2])[h_{\xi_3}] \cr ~\stackrel{(1)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[\rho(\xi_1),\rho(\xi_2)]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}[X_{h_{\xi_1}},X_{h_{\xi_2}}]_{LB}[h_{\xi_3}]\cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}X_{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB}}[h_{\xi_3}]\cr ~\equiv~& \sum_{\xi_1,\xi_2,\xi_3~{\rm cycl.}}\{\{h_{\xi_1},h_{\xi_2}\}_{PB},h_{\xi_3}\}_{PB}\cr ~=~&0. \end{align} \tag{9}$$

9. Lassen Sie uns außerdem verlangen, dass die Karte$\tilde{\mu}: \xi\mapsto h_{\xi}$sollte ein Lie-Algebra-Homomorphismus sein

   $$(L,[\cdot,\cdot])~~ \stackrel{\tilde{\mu}}{\longrightarrow}~~(C^{\infty}(M),\{\cdot,\cdot\}_{PB}). \tag{10}$$ Dies entspricht dem 2-Zylinder$P$sollte eine 2-Ko-Grenze sein $$P(\xi_1\wedge\xi_2)~=~h_{[\xi_1,\xi_2]}.\tag{11}$$ Es kann eine 2-Zyklus-Obstruktion/klassische Anomalie geben, die dies verhindert.

10. Im positiven Fall die Karte$\tilde{\mu}$heißt Hamiltonsche Wirkung. Die duale Karte$\mu:M\to L^{\ast}$wird Momentenkarte genannt .

Tolle Frage!

Eine Möglichkeit, zu sehen, was vor sich geht, besteht darin, die Hamiltonsche Version von Noethers Theorem zu verwenden. Das Noether-Verfahren erzeugt eine erhaltene Ladung$Q$verbunden mit der Symmetrie mit Parameter$\theta$. Es stellt sich heraus, dass$Q$ist der Generator dieser Symmetrie, in dem Sinne, dass für eine Funktion$A$von Phasenraumvariablen

$$\begin{equation} \{A,Q\} = \frac{\partial A}{\partial\theta} \end{equation}$$

Tatsächlich ist der Beweis nicht schwer (tun Sie es für den Fall, wo sich der Impuls unter der Symmetrie nicht ändert,$\delta_\theta p =0, \delta_\theta q \neq 0$). Sie nehmen einfach die Definition der Noether-Ladung und stecken und tuckern.

Nehmen wir nun an, ich habe eine nicht-Abelsche Symmetriegruppe$G$mit Generatoren$T^a$. Jedem Generator ist eine Erhaltungsladung zugeordnet$Q^a$. Wie wirken die Ladungen aufeinander? Es muss eine weitere Symmetrietransformation sein!

$$\begin{equation} \{Q^a,Q^b\} = \frac{\partial Q^a}{\partial \theta^b} = \frac{\partial Q^b}{\partial \theta^a} = f^{abc} Q^c \end{equation}$$ bei dem die $f^{abc}$sind die Strukturkonstanten der Gruppe (bis auf wahrscheinlich fehlende Faktoren von $i$oder $2$).

Eine verwandte Aussage ist der Satz von Frobenius. Die Idee ist, dass eine Menge von Vektorfeldern nur dann integrierbar ist, wenn ihre Algebra geschlossen ist. Die Symmetrietransformationen des Systems sollten das System innerhalb einer Untermannigfaltigkeit im Phasenraum belassen, und daher sollte der Satz von Vektorfeldern, die den Symmetriegeneratoren zugeordnet sind, integrierbar sein. Damit sollte die Algebra der Generatoren schließen.