Landaus Problem - Poisson-Klammer einer sphärischen Symmetriefunktion und Drehimpuls in der z-Achse

In Landau's Mechanics gibt es ein Problem:

Problem

Ich denke, wenn die Funktion die Eigenschaft Kugelsymmetrie hat, oder: ϕ ( R , P ) = ϕ ( − R , − P )

Die von Landau vorgeschlagene Form folgt dieser Eigenschaft, aber ich kann nicht begründen, dass alle Funktionen mit dieser Eigenschaft nur davon abhängen R 2 , P 2 Und R ⋅ P . Gibt es dafür einen formalen Beweis (dass jede sphärische Symmetriefunktion musseine Kombination aus sein(Edit: nicht notwendig eine Kombination) hängt nur davon ab R 2 , P 2 Und R ⋅ P ) ?

Aktualisierung 1:

Mir wurde klar, dass eine sphärische Symmetriefunktion nur von einer Art skalarer Variable abhängen muss, sonst würde die Funktion von der Richtung der Variablen abhängen und ist daher keine sphärische Symmetrie. Ist es aber nicht R ⋅ P hängt irgendwie von der relativen Richtung beider Vektoren ab?

Aktualisierung 2:

Eine kleine Visualisierung der Idee von pppqqq. Ich zerlege die Transformation in vier einachsige Rotationen, da es viel einfacher zu verstehen und ihre Matrixdarstellung einfach auszuschreiben ist (Siehe: Wikipedia - Rotationsmatrix ). Die vier Rotationen sind eindeutig orthogonale Transformationen und ihre Zusammensetzung ist somit orthogonal. Hier erklärt sich auch der Begriff R ⋅ P ergeben sich daraus R ist nicht immer senkrecht zu P .

  • Schritt 1 (Ignorieren Sie das Momentum P Erste):

Schritt 1

  • Schritt 2:

Schritt 2

  • Schritt 3 (Jetzt ist der Schwung. Wo auch immer P liegt, können wir dasselbe tun wie in Schritt 1.):

Schritt 3

  • Endlich:

Endlich

Hier gibt es einige vage Fragen. Es ist viel besser, eine einzelne spezifische Frage zu stellen. Erstellen Sie mehrere Beiträge für mehrere Fragen.
Danke für den Vorschlag. Ich habe es auf eine Frage reduziert. @Daniel Sank

Antworten (1)

Der Ausdruck "die Funktion ist kugelsymmetrisch" bedeutet, dass, wenn G ist eine orthogonale Transformation (die Kugeln in sich selbst sendet), dann

F ( G R , G P , T ) = F ( R , P , T ) .
Wenn Sie wissen R 2 , P 2 , R ⋅ P du kannst rechnen F indem man eine orthogonale Transformation nimmt, die abbildet R in die z Achse und P in die X − z Flugzeug, also ist es klar, dass eine solche Funktion davon abhängt R Und P nur über diese Kombinationen.

Ausdrücklich:

F ( X , j , z , P X , P j , P z ) = F ( 0 , 0 , R , P Sünde ⁡ θ , 0 , P cos ⁡ θ ) ,
Wo
cos ⁡ θ = P ⋅ R P R .

Deine Argumentation ist ziemlich cool. Darf ich fragen, ob es immer möglich ist, eine Transformation zu finden, die orthogonal ist und r in die z-Achse und p in die x−z-Ebene abbildet? Gibt es ein solches Beispiel?
Ich denke, Sie suchen nach der expliziten Form der Rotation. Es tut mir leid, aber ich habe jetzt keine Zeit, einen formellen Beweis zu schreiben. Allerdings ist die Idee sehr einfach: WLOG nehmen R als die z Achse. Wenn θ ist der Längengrad von P in sphärischen Koordinaten ist der nächste Schritt eine einfache Drehung um die z Achse eines Winkels − θ .
Vielen Dank. Ich habe auch meine Visualisierung deines Gedankens aktualisiert.
Gern geschehen. Natürlich zu deinem Update Nr. 1 R ⋅ P hängt von der relativen Richtung ab R Und P ; Wenn Sie möchten, definiert es die Richtung von R gegenüber P . Vielleicht ist "kugelsymmetrisch" keine sehr gute Art zu sagen, dass eine Funktion unter Drehungen der Koordinatenachse unveränderlich ist (in meiner Übersetzung wird sie durch das Wort "skalar" ersetzt, wenn ich mich gut erinnere).
Landaus Problem - Poisson-Klammer einer sphärischen Symmetriefunktion und Drehimpuls in der z-Achse
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