Zeigen Sie, dass der Laplace-Runge-Lenz-Vektor erhalten bleibt, indem Sie Poisson-Klammern verwenden

(Mir ist klar, dass es bereits ähnliche Phys.SE-Fragen gibt, aber es gibt keine Antwort mit der Poisson-Klammer-Notation. Ich werde dies notieren, wenn mir jemand mitteilt, dass ich die vorhandene Frage hätte kommentieren sollen.)

Ich versuche zu zeigen, dass die Poisson-Klammer zwischen dem Hamilton- und dem Laplace-Runge-Lenz-Vektor verschwindet, dh

{ H , A } P B = 0

Wo A → = ( P × L ) − M k ⋅ R ^ , und der Hamilton-Operator ist für eine Umlaufbahn gegeben durch,

H = M 2 ( D R D T ) 2 + k R

Ich habe versucht, die Tensornotation zu verwenden, um den Kreuzproduktterm und die fundamentalen Poisson-Klammern zu schreiben, habe aber kein Glück.

Der zweite Term ist falsch. Er sollte konstant multipliziert mit dem Einheitsvektor in radialer Richtung sein. Ich hoffe, das behebt Ihr Problem.
Entschuldigung, das wollte ich zeigen, ich bin mir nicht sicher, wie ich den r-Einheitsvektor mit den Formatierungsoptionen veranschaulichen soll.
Der Beweis von { A ich , H } P B = 0 erfolgt im Wesentlichen in pt. 1 - 6 meiner Phys.SE-Antwort hier .

Antworten (1)

Abrufen A 2 = M 2 k 2 + 2 M E L 2 . Wir können zunächst beweisen, dass die Größe konstant ist:

[ A 2 , H ] = [ M 2 k 2 + 2 M E L 2 , H ] = [ 2 M E L 2 , H ]

[ A 2 , H ] = 4 M E L [ L , H ] = 4 M E L L ˙

Seit L ˙ = 0 , das impliziert A ˙ = 0 . Wir müssen nicht nur zeigen, dass die Komponenten konstant sind. Notiz:

A → =< j L z − M k , X L z − M k , 0 >

Daher A X = A X ( j ) Und A j = A j ( X ) . Seit A X 2 + A j 2 = C Ö N S T A N T und jede sind Funktionen verschiedener Variablen, jede muss konstant sein.

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