Für klassische Systeme können wir eine Konfigurationsmannigfaltigkeit definieren, deren Kotangensbündel ein Impulsphasenraum ist, der mit einer abgeschlossenen, nicht entarteten 2-Form ausgestattet ist. Nach der kommutativen Algebra glatter Funktionen auf dem Kotangensbündel definieren wir eine bilineare Klammer, die der Menge eine Lie-Algebra-Struktur verleiht. Wir sagen, dass eine Poisson-Mannigfaltigkeit genau diese Beschreibung ist, aber regelmäßig mit symplektischen Blättern (symplektische Untermannigfaltigkeiten) beblättert ist. Ich interessiere mich für eingeschränkte Dynamik.
Ich kämpfe darum zu verstehen, wie ich an diese Blätter denken soll,
In Arnolds Text zur klassischen Mechanik identifiziert er die symplektischen Mannigfaltigkeiten integrierbarer Systeme mit dem Torus. Sollten diese als Untermannigfaltigkeiten oder als Poisson-Mannigfaltigkeit angesehen werden? Eine Vereinheitlichung dieser Frage meiner ersten würde mir sehr helfen!
Jedes Kotangensbündel ist eine symplektische Mannigfaltigkeit und damit eine Poisson-Mannigfaltigkeit. Symplektische Mannigfaltigkeiten codieren unbeschränkte Mechanik. Eine symplektische Mannigfaltigkeit hat nur ein einziges symplektisches Blatt, nämlich sich selbst.
Allgemeinere Poisson-Mannigfaltigkeiten (oft durch einen als symplektische Reduktion bezeichneten Prozess erhalten) codieren bereits eingeschränkte Mechanik: Jeder Casimir wird zu einer Einschränkung, wenn er auf einen konstanten Wert festgelegt wird, was einen Poisson-Homomorphismus zur eingeschränkten Poisson-Mannigfaltigkeit erzeugt. Die symplektischen Blätter einer Poisson-Mannigfaltigkeit sind die Untermannigfaltigkeiten, die man auf diese Weise erhält, indem man die Werte einer vollständigen Sammlung von Casimirs festlegt, dh die Familie aller Casimirs erzeugt. (Symplektische Mannigfaltigkeiten haben außer Konstanten keine Kasimire, was erklärt, warum sie ihr eigenes symplektisches Blatt sind.)
Um Beschränkungen aufzuerlegen, die nicht von Casimirs gegeben wurden (z. B. wenn einem symplektischen Raum Beschränkungen auferlegt werden), muss man zuerst die ursprüngliche Poisson-Algebra auf den Zentralisierer der Beschränkung beschränken (die Menge von Funktionen, deren Poisson-Klammer mit der Beschränkungsmenge verschwindet); In diesem Zentralisierer (der in bestimmten Fällen als Algebra von eicheninvarianten Funktionen interpretiert werden kann) sind die ursprünglichen Einschränkungen Casimirs, und das Obige gilt.
Ein gutes Buch über Poisson-Mannigfaltigkeiten und ihre Verwendung in der Physik ist das Buch „Mechanics and symmetry“ von Marsden und Ratiu.
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Arnold Neumaier