Eine Frage zur kanonischen Transformation

Question

Eine Frage zur kanonischen Transformation

Benutzer25607

Ich habe diese Frage schon einmal in math.stackexchange gepostet , bisher ohne Antwort. Vielleicht ist es besser, hier zu posten.

Es gibt ein Problem in Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics, das besagt:

Zeigen Sie, dass die Karte $A: \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ Senden $(p, q) \rightarrow (P(p,q), Q(p,q))$ ist kanonisch (p206), wenn und nur wenn die Poisson-Klammer von zwei beliebigen Funktionen in den Variablen $(p,q)$ Und $(P,Q)$ übereinstimmen:
$(F, H)_{P, Q} = \frac{\partial H}{\partial P} \frac{\partial F}{\partial Q} - \frac{\partial H}{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial P} = \frac{\partial H}{\partial P} \frac{\partial F}{\partial Q} - \frac{\partial H}{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial P} = (F, H)_{P, Q} .$ $(F,H)_{p,q} = \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial q} - \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial p} = \frac{\partial H}{\partial P} \frac{\partial F}{\partial Q} - \frac{\partial H}{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial P} = (F,H)_{P,Q}.$

Ich kann dieses Problem nicht lösen und überlege es mir wie folgt: From $(F,H)_{p,q} = (F,H)_{P,Q}$ Das kann ich veranlassen

\sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{J}, P_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = \sum_{ich} det (\frac{\partial (Q_{J}, Q_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = 0, \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{J}, Q_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = δ_{J, k},

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, P_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(Q_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \delta_{j,k},$ Und

\sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{J}, P_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = \sum_{ich} det (\frac{\partial (Q_{J}, Q_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = 0, \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{J}, Q_{k})}{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}) = δ_{J, k} .

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, p_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(q_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \delta_{j,k}.$ Aber andererseits zu induzieren

d P \land d Q = d p \land d q

$dP\wedge dQ = dp \wedge dq$ ich brauche das

\sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}{\partial (P_{J}, P_{k})}) = \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}{\partial (Q_{J}, Q_{k})}) = 0, \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, P_{ich})}{\partial (P_{J}, Q_{k})}) = δ_{J, k},

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)}{\partial(P_j, P_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)} {\partial(Q_j, Q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, p_i)}{\partial(P_j, Q_k)} \right) = \delta_{j,k},$ oder

\sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}{\partial (P_{J}, P_{k})}) = \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}{\partial (Q_{J}, Q_{k})}) = 0, \sum_{ich} det (\frac{\partial (P_{ich}, Q_{ich})}{\partial (P_{J}, Q_{k})}) = δ_{J, k} .

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, p_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(q_j, q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, q_k)} \right) = \delta_{j,k}.$ Ist an der obigen Begründung etwas falsch? Können Sie mir zeigen, wie ich dieses Problem lösen kann?

Antworten (1)

Eine Frage zur kanonischen Transformation

QMechaniker · Answer 1

Der gesuchte Beweis von OP wird kürzer, wenn wir zunächst eine symplektische Notation einführen. Betrachten Sie daher eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M;\omega)$ . In einem lokalen Diagramm $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$ , lautet die symplektische Zweierform
$\begin{matrix} (1) & ω = \frac{1}{2} ω_{ICH J} D X^{ICH} \land D X^{J}, \end{matrix}$ $\tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} \omega_{IJ}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^J ,$ und der entsprechende Poisson-Bivektor $\begin{matrix} (2) & π = \frac{1}{2} π^{ICH J} \partial_{ICH} \land \partial_{J}, \end{matrix}$ $\tag{2} \pi~=~\frac{1}{2} \pi^{IJ}~\partial_I \wedge \partial_J,$ Wo $\begin{matrix} (3) & ω_{ICH J} π^{J K} = δ_{ICH}^{K} . \end{matrix}$ $\tag{3} \omega_{IJ} ~\pi^{JK}~=~\delta_I^K.$ Die Poisson-Klammer lautet $\begin{matrix} (4) & {F, G}_{P B} = (\partial_{ICH} F) π^{ICH J} (\partial_{J} G) . \end{matrix}$ $\tag{4} \{f,g\}_{PB} ~=~ (\partial_I f) \pi^{IJ} (\partial_J g).$ Siehe auch zB diesen und diesen Phys.SE-Beitrag.
In einer lokalen Darboux-Karte $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$ , lautet die symplektische Zweierform
$\begin{matrix} (4) & ω = \frac{1}{2} (J^{- 1})_{ICH K} D X^{ICH} \land D X^{K} = - \frac{1}{2} J^{ICH K} D X^{ICH} \land D X^{K}, \end{matrix}$ $\tag{4} \omega~=~\frac{1}{2}(J^{-1})_{IK}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^K~=~-\frac{1}{2}J^{IK}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^K,$ und die entsprechende Poisson-Klammer lautet $\begin{matrix} (5) & {X^{ICH}, X^{K}}_{P B} = J^{ICH K}, \end{matrix}$ $\tag{5} \{x^I,x^K\}_{PB}~=~J^{IK},$ Wo $\begin{matrix} (6) & J = [\begin{matrix} 0_{N} & {ICH}_{N} \\ - {ICH}_{N} & 0_{N} \end{matrix}], J^{2} = - {ICH}_{2 N} . \end{matrix}$ $\tag{6} J ~=~\begin{bmatrix} 0_n & I_n \cr -I_n & 0_n \end{bmatrix}, \qquad J^2~=~-I_{2n}.$
Lassen Sie uns nun mit einigen Hinweisen zu OPs Frage zurückkehren. Die Definition einer kanonischen Transformation $^1$ $\phi:M\to M$ gegeben in Ref. 1 entspricht dem Begriff eines Symplektomorphismus
$\begin{matrix} (7) & ϕ^{*} ω = ω . \end{matrix}$ $\tag{7} \phi^{\ast}\omega ~=~\omega.$ Lassen Sie uns ein lokales Darboux-Viertel auswählen. Sei die Jacobi-Matrix für den Symplektomorphismus $\begin{matrix} (8) & M^{ICH}_{J} := \frac{\partial ϕ^{ICH} (X)}{\partial X^{J}} . \end{matrix}$ $\tag{8} M^I{}_J ~:=~\frac{\partial \phi^I(x)}{\partial x^J}.$
Zeigen Sie, dass die Bedingung (7) impliziert, dass die Matrix $M$ ist eine symplektische Matrix
$\begin{matrix} (9) & M^{T} J^{- 1} M = J^{- 1}, \end{matrix}$ $\tag{9} M^t J^{-1} M~=~ J^{-1},$ oder gleichwertig, $\begin{matrix} (10) & M J M^{T} = J . \end{matrix}$ $\tag{10} M J M^t~=~ J.$
Zeigen Sie, dass die symplektische Bedingung (10) äquivalent zur Erhaltung der Poisson-Klammer ist
$\begin{matrix} (11) & {ϕ^{ICH} (X), ϕ^{J} (X)}_{P B} = {X^{ICH}, X^{J}}_{P B} . \end{matrix}$ $\tag{11} \{ \phi^I(x),\phi^J(x)\}_{PB}~=~\{x^I,x^J\}_{PB}.$

Verweise:

VI Arnold, Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik, 2. Aufl., 1989; P. 206.

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$^1$ Beachten Sie, dass verschiedene Autoren unterschiedliche Definitionen einer kanonischen Transformation geben , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

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Benutzer25607

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QMechaniker

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