Die Beziehung zwischen Spin und Spinorkrümmung

Die Krümmungszweiform ist durch definiert

$$\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \Rcal_{ab} \Psi = [D_a, D_b] \Psi.$$ Hier $D_a$ist die kovariante Ableitung ohne Eichterme . $\Rcal_{ab}$nimmt Werte in der Dirac-Darstellung der Lorentz-Lie-Algebra an. So ist wirklich das Verhältnis $$\mathcal R_{ab \alpha\beta} \Psi_\beta = [D_a, D_b] \Psi_\alpha$$ Wo $\alpha, \beta$sind Dirac-Spinor-Indizes. Vergleichen Sie dies mit dem bekannteren Riemann-Tensor $$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = [D_a, D_b] x^\mu.$$ Da der Riemann-Tensor antisymmetrisch ist in $\mu,\nu$wir können es auch als 2-Form betrachten, die Werte in einer Darstellung der Lorentz-Lie-Algebra annimmt. Natürlich ist diese Darstellung die 4-Vektor-Darstellung.

Die Dirac-Darstellung der Lie-Algebra wird durch realisiert

$$\epsilon_{\mu\nu} \mapsto \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu$$ das ist unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation durch $\epsilon_{\mu\nu}$, $$\Psi \mapsto \Psi + \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu \Psi.$$ Das bedeutet, dass $$\Rcal_{ab} = \frac{1}{4}R_{abst}\gamma^s \gamma^t.$$

Lassen Sie uns nun den Ricci-Tensor durch definieren

$$R_{ab} = R_a{}^\mu{}_{\mu b} = R_{astb} g^{st}.$$ Dann können wir aus der fundamentalen Antikommutierungsbeziehung der Gammamatrizen schreiben $$\begin{align} R_{ab} \gamma^b & = \frac{1}{2} R_{astb} (\gamma^s \gamma^t + \gamma^t \gamma^s) \gamma^b \\ & = \frac{1}{2} R_{astb}\gamma^s\gamma^t \gamma^b - \frac{1}{2} (R_{abst} + R_{atbs}) \gamma^t\gamma^s \gamma^b \tag{1}.\end{align}$$ Hier habe ich die Symmetrie des Riemann-Tensors verwendet, $R_{astb} + R_{abst} + R_{atbs} = 0$. Beachten Sie, dass der erste Term genau ist $2\Rcal_{as}\gamma^s$. Jetzt $R_{atbs} = -R_{atsb}$und so zeigt eine Umbenennung von kontrahierten Indizes im letzten Term, dass dieser Term ebenfalls einen Beitrag leistet $2\Rcal_{as}\gamma^s$. Verwenden Sie für den mittleren Term die Antikommutierungsrelation, um zu finden $$\gamma^t \gamma^s \gamma^b = \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2g^{tb}\gamma^s + 2g^{sb}\gamma^t \tag{2}.$$ Somit, $$\begin{align}R_{abst}\gamma^t\gamma^s \gamma^b & = -R_{abts} \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2R_a{}^\mu{}_{s \mu} \gamma^s + 2R_a{}^\mu{}_{\mu t}\gamma^t \\ & = -\Rcal_{as}\gamma^s + 4R_{as}\gamma^s. \end{align}$$

Wir haben jetzt, dass (1) ist

$$R_{ab}\gamma^b = 6 \Rcal_{ab}\gamma^b - 2R_{ab}\gamma^b$$ so klar $$\frac{1}{2}R_{ab}\gamma^b = \Rcal_{ab}\gamma^b \tag{3}$$ das ist eine der Identitäten in Ihrer Frage. Die andere sollte aus der Verwendung der Antikommutierungsbeziehungen und (3) folgen.