Finden der Komponenten von B im Elektromagnetischen Feldtensor

Ich bin etwas verwirrt darüber, wie Magnetfeldkomponenten in Funktion des Feldtensors geschrieben werden.

Ich habe die Metrik ( − , + , + , + ) Mein Feldtensor ist also dieser

(3) F μ v = ( 0 E 1 E 2 E 3 − E 1 0 B 3 − B 2 − E 2 − B 3 0 B 1 − E 3 B 2 − B 1 0 )

Ich normalisiere das Levi-Civita-Symbol auf diese Weise: ϵ 123 = 1

In vielen Lehrbüchern und in den Notizen des Lehrers werden die Komponenten von B so definiert:

B k = 1 2 ϵ ich J k F ich J

ich , J , k wegrennen von 1 Zu 3 .

Also zum Beispiel zu finden B 3 , was eindeutig ist F 12 , Ich setze k = 3 und summieren Sie die Permutation des Levi-Civita-Symbols, um so etwas zu erhalten

1 2 ( ϵ 123 F 12 + ϵ 213 F 21 ) = 1 2 ( F 12 − F 21 ) = F 12 = B 3

Aber ich weiß nicht wirklich, warum ich summiere oder ob es etwas gibt, das mir sagt, dass ich die Permutationen von summieren soll ich Und J , ich summiere nur, weil ich auf diese Weise das richtige Ergebnis erhalte. Aber ich denke, es wäre einfacher zu schreiben

B k = ϵ ich J k F ich J

Auf diese Weise ist keine Summierung erforderlich, Sie berechnen einfach den Wert von ϵ ich J k .

Zum Beispiel, k = 3 , ich Und J sind jetzt frei, also schreibe ich ϵ ich J k einen Wert geben ich und der andere zu J , wähle die einfachere Wahl, die ich habe B 3 = ϵ 123 F 12 = 1 F 12 . Die andere Wahl ist B 3 = ϵ 213 F 21 = − F 21 = F 12

Also meine Fragen sind:

warum diese Art zu schreiben B k und nicht die andere einfachere?

Warum summieren über Permutation? Ich meine, was mir sagt, dass ich die Permutationen summieren und nicht nur einen Wert auswählen muss ich Und J und den Wert des Levi-Civita-Tensors berechnen?

Der einzige Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Formel besteht darin, dass Sie die 1/2 in der zweiten weggelassen haben. Ich bin mir nicht sicher, warum Sie denken, dass eine besser ist oder was Sie mit "keine Summierung erforderlich" meinen - was tun Sie meinen mit "Berechnung des Wertes von ϵ ich J k "?
@ACuriousMind Ich habe die Frage bearbeitet, ich hoffe, sie ist jetzt klarer. Entschuldigung für die "Rechnung", ich habe gerade aus meiner Muttersprache übersetzt und das war falsch

Antworten (1)

So funktioniert die Indexnotation nicht. Das sagst du rein

(1) B k = ϵ ich J k F ich J
Sie sind „frei in der Wahl“. ich Und J , aber dann treffen Sie nur die beiden Entscheidungen (1,2) und (2,1), für die das die richtigen Ergebnisse liefert. Wie wäre es mit ich = 1 , J = 3 , oder ich = 2 , J = 2 ? Sie haben diese bestimmten ausgewählt ich s und J s weil Sie wussten, welches Ergebnis Sie wollten , nicht weil es irgendwie eine Wahl ist, die von der Notation (1) diktiert wird.

Um solche mehrdeutigen Entscheidungen zu vermeiden, müssen alle Indizes in Indexschreibweise entweder auf beiden Seiten der Gleichung auftreten oder über summiert werden . Die allgemeine Konvention besteht darin, über wiederholte Indizes zu summieren, obwohl in Ihrer relativistischen Einstellung die Indexposition tatsächlich relevant ist und die Gleichung geschrieben werden sollte

(2) B k = ϵ ich J k F ich J .
Hier summierst du nun über alle möglichen Werte für ich Und J , nicht nur über ihre Permutationen - sondern über diese Indizes ich J k die keine Permutationen von sind 123 ergeben einfach null, weil das Levi-Civita-Symbol für diese Indizes null ist.

Ja, du hast recht, ich habe die anderen Möglichkeiten nicht bemerkt und ausgeschlossen. Danke für deine klare und präzise Antwort. Also wenn mir so etwas begegnet 1 / 2 ϵ ich J k F ich J , wenn ich es explizit mit B schreiben möchte, sollte ich zuerst 2 Indizes senken und dann summieren? Eine andere Sache, ich bin mir nicht sicher, aber vielleicht in Ihrer Antwort ( 2 ) , sollte es nicht sein F ich J
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